Пришло время разобраться с обозначениями корней n-ой степени. Для этого дается определение арифметического корня n-ой степени.

Единственность корня нечетной степени 2·m+1 из числа a доказывается по аналогии с доказательством единственности кубического корня из a. Только здесь вместо равенства a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+c2) используется равенство вида b2·m+1−c2·m+1=(b−c)·(b2·m+b2·m−1·c+b2·m−2·c2+… +c2·m). Выражение в последней скобке можно переписать как b2·m+c2·m+b·c·(b2·m−2+c2·m−2+b·c·(b2·m−4+c2·m−4+b·c·(…+(b2+c2+b·c)))). Например, при m=2 имеем b5−c5=(b−c)·(b4+b3·c+b2·c2+b·c3+c4)=(b−c)·(b4+c4+b·c·(b2+c2+b·c)). Когда a и b оба положительны или оба отрицательны их произведение является положительным числом, тогда выражение b2+c2+b·c, находящееся в скобках самой высокой степени вложенности, является положительным как сумма положительных чисел. Теперь, продвигаясь последовательно к выражениям в скобках предыдущих степеней вложенности, убеждаемся, что они также положительны как суммы положительных чисел. В итоге получаем, что равенство b2·m+1−c2·m+1=(b−c)·(b2·m+b2·m−1·c+b2·m−2·c2+… +c2·m)=0 возможно только тогда, когда b−c=0, то есть, когда число b равно числу c.

Определение

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа a обозначается как . Число a называют подкоренным числом, а число n – показателем корня. Для примера рассмотрим запись , здесь подкоренным числом является 125,36, а показатель корня равен 5.

Заметим, что при n=2 мы имеем дело с квадратным корнем из числа, в этом случае показатель корня принято не записывать, то есть, записи и означают одно и то же число.

Несмотря на то, что определение арифметического корня n-ой степени, а также его обозначение введены для неотрицательных подкоренных чисел, мы в целях удобства для нечетных показателей корня и отрицательных подкоренных чисел будем использовать записи вида , которые будем понимать как . Например, и .

Корням же четной степени с отрицательными подкоренными числами мы не будем придавать никакого смысла (до начала изучения комплексных чисел). К примеру, выражения и не имеют смысла.

Вычисление корней n-ой степени подробно разобрано в статье извлечение корней.

На основании данного выше определения обосновываются свойства корней n-ой степени, которые имеют широкое практическое применение.

В заключение стоит сказать, что корни n-ой степени являются корнями уравнений вида xn=a.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒