Обобщим понятие корня из числа – введем определение корня n-ой степени для натуральных чисел n.

Корень n-ой степени, арифметический корень степени n

Обобщим понятие корня из числа – введем определение корня n-ой степени для натуральных чисел n.

Определение

Корень n-ой степени из числа a – это число, n-я степень которого равна a.

Из данного определения понятно, что корень первой степени из числа a есть само число a, так как при изучении степени с натуральным показателем мы приняли a1=a.

Выше мы рассмотрели частные случаи корня n-ой степени при n=2 и n=3 – квадратный корень и кубический корень. То есть, квадратный корень – это корень второй степени, а кубический корень – корень третьей степени. Для изучения корней n-ой степени при n=4, 5, 6, … их удобно разделить на две группы: первая группа – корни четных степеней (то есть, при n=4, 6, 8, …), вторая группа – корни нечетных степеней (то есть, при n=5, 7, 9, …). Это связано с тем, что корни четных степеней аналогичны квадратному корню, а корни нечетных степеней – кубическому. Разберемся с ними по очереди.

Начнем с корней, степенями которых являются четные числа 4, 6, 8, … Как мы уже сказали, они аналогичны квадратному корню из числа a. То есть, корень любой четной степени из числа a существует лишь для неотрицательного a. Причем, если a=0, то корень из a единственный и равен нулю, а если a>0, то существует два корня четной степени из числа a, причем они являются противоположными числами.

Обоснуем последнее утверждение. Пусть b – корень четной степени (обозначим ее как 2·m, где m – некоторое натуральное число) из числа a. Предположим, что существует число c – еще один корень степени 2·m из числа a. Тогда b2·m−c2·m=a−a=0. Но мы знаем формулу сокращенного умножения вида b2·m−c2·m=(b−c)·(b+c)·(b2·m−2+b2·m−4·c2+b2·m−6·c4+…+c2·m−2), тогда (b−c)·(b+c)·(b2·m−2+b2·m−4·c2+b2·m−6·c4+…+c2·m−2)=0. Из этого равенства следует, что b−c=0, или b+c=0, или b2·m−2+b2·m−4·c2+b2·m−6·c4+…+c2·m−2=0. Первые два равенства означают, что числа b и c равны или b и c – противоположны. А последнее равенство справедливо лишь при b=c=0, так как в его левой части находится выражение, которое неотрицательно при любых b и c как сумма неотрицательных чисел.

Что касается корней n-ой степени при нечетных n, то они аналогичны кубическому корню. То есть, корень любой нечетной степени из числа a существует для любого действительного числа a, причем для данного числа a он является единственным.

12 3 Следующая ⇒