Тема: Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода

Тема: Несобственные интегралы

До сих пор мы рассматривали определенные интегралы только при выполнении двух условий:

1) промежуток [a, b] конечен;

2) функция f(x) ограничена на этом промежутке.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл нельзя найти по тому определению, которое давалось раннее: бесконечный отрезок нельзя разбить на n отрезков конечной длины; если функция растет до бесконечности, нет предела интегральных сумм.

Тем не менее, интегралы с бесконечностями используются в математике и технике. Их называют неопределенными интегралами. Если бесконечен промежуток интегрирования, перед нами интегралы первого рода. Когда бесконечна функция, мы имеем дело с интегралом второго рода.

Геометрический смысл несобственного интеграла: сходящийся несобственный интеграл означает, что площадь бесконечной фигуры есть конечное число.

Несобственные интегралы первого рода

Определение: Пусть функция y = f(x) определена на промежутке [a, + ∞] и на любом конечном отрезке [a, B], a < B, B < + ∞ функция y = f(x) интегрируема, то есть существует интеграл . Тогда несобственным интегралом первого рода (интегралом по бесконечному промежутку)называется предел

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или бесконечен, то несобственный интеграл – расходящийся.

Аналогично определяются интегралы, у которых бесконечен нижний предел интегрирования или оба предела интегрирования:

Обозначение: , ,

Пример 1. Найти несобственный интеграл

12 Следующая ⇒