Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла базируется на формулах косинуса двойного угла вида и . Разрешив первое из записанных равенств относительно , получаем формулу половинного угла для синуса . А разрешив второе равенство относительно , получаем формулу половинного угла для косинуса .

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса нам потребуются основные тригонометрические тождества вида и , а также две доказанные выше формулы половинного угла для синуса и косинуса. Имеем

Так мы доказали все формулы половинного угла.

Примеры использования

Целью этого пункта заключается в том, чтобы показать как применяются формулы половинного угла при решении конкретных примеров. Начнем с простого примера.

Пример.

Зная, что , вычислите при помощи формулы половинного угла значение косинуса 15 градусов.

Решение.

Формула половинного угла для косинуса имеет вид , тогда . Итак, значение квадрата косинуса 15 градусов найдено, осталось по нему найти значение самого косинуса.

Так как угол 15 градусов является углом первой координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, так как , то .

Ответ:

Обязательно стоит обратить Ваше внимание, что для применения формул половинного угла аргументы не обязательно должны иметь явный вид и , главное – чтобы аргумент в правой части формул половинного угла был вдвое больше аргумента в левой части формул. К примеру, формула половинного угла для синуса позволяет записать равенство или .

В заключение этого пункта скажем, что в основном формулы половинного аргумента применяются при преобразовании тригонометрических выражений, но эта тема заслуживает отдельного рассмотрения.

⇐ Предыдущая 12