Метод трапеций

Методы Ньютона-Котеса 1. Метод прямоугольников Одним из простейших методов численного интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке

подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину частичного отрезка

. Тогда значение интеграла на частичном отрезке:

Подставив это выражение в формулу, получим составную формулу средних прямоугольников:

Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.1(a). Из рисунка видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников. Формулу можно представить в ином виде:

или

Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис.1(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников.

а) средние прямоугольники	б) левые прямоугольники	в) правые прямоугольники
Рис.1. Интегрирование методом прямоугольников

2. Метод трапеций

Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени:

то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:

(2.10)

Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования примет вид:

Графически метод трапеций представлен на рис.2. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой, проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 2.10.

Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.

Рис.2. Интегрирование методом трапеций

12 Следующая ⇒