Задания части В.. Задания части С.

Задания части В.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в 3 раза.

Решение. Пусть ребра данного параллелепипеда равны a, b и c. Тогда имеем:

После увеличения каждого ребра в 3 раза его объём будет равен

Ответ: 54.

2. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 30 см. Если в него налить 30 л. воды, то до верхнего края останется 5 см. Сколько литров воды нужно, чтобы наполнить пустой аквариум доверху?

Решение. Пусть V и H соответственно объем и высота параллелепипеда.

V=SH. По условию V=30, H=25, тогда 25*S=30.

После заполнения пустого аквариума доверху H=30. Значит, 30*S=V.

Найдем отношение = , V=36 л.

Ответ: 36.

3. Кубик весит 10 гр. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.

Решение. Пусть V- объём данного параллелепипеда. После увеличения каждого ребра в 3 раза, его объём будет равен 27 V.

, x=270 гр.

Ответ: 270.

Задания части С.

1.В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AС₁ и плоскостью BСC₁.

Решение. Из точки А опускаем перпендикуляр. Т.к.

, то

Тогда AC₁ – наклонная, ВС₁– проекция прямой AC₁ на плоскость BСC₁. Т.к. угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость, то

- искомый.

Треугольник ABC₁- прямоугольный: .

Пусть сторона куба равна a. Тогда .

Ответ: .

2.Сторона основания правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁равна 12, а боковое ребро . Найдите градусную меру угла между плоскостями AB₁C и ABC.

Решение. 1) Плоскость AB₁C пересекает плоскость ABC по прямой AC. Построим линейный угол двугранного угла между этими плоскостями. Для этого из точки B проведём перпендикуляр к прямой AC. Т.к. призма правильная, то её основанием является правильный четырёхугольник – квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, искомый перпендикуляр-отрезок BO – половина диагонали BD, причём точка O – середина отрезка AC.

Т.к. призма правильная, то она прямая, значит, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, BO - проекция наклонной B₁O. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная B₁O перпендикулярна прямой AC.

Следовательно, угол BOB₁ является линейным углом двугранного угла между плоскостями AB₁C и ABC.

2)В квадрате ABCD AB=12, BD= , BO= :2 =

3)Рассмотрим треугольник BB₁O.

, а значит, прямая BB₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC. Поэтому треугольник OBB₁ -прямоугольный, а значит

, следовательно, . Ответ: 30⁰.

3.В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁найдите угол между плоскостью АА₁С и прямой А₁В, если АА₁=3, АВ=4, ВС= 4.

Решение. Из точки В проведем перпендикуляр ВН к АС. А₁Н – проекция А₁В на плоскость АА₁С. Значит, угол ВА₁Н- искомый. Из прямоугольного треугольника АВС находим ВН=2

. Из прямоугольного треугольника А₁АВ находим А₁В= 5. Из прямоугольного треугольника А₁НВ находим sinА₁=

Ответ: arcsin

Задачи для самостоятельного решения:

1.Объём прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему будет равен объём параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 2 раза. (4)

2.В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд той же формы, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого. Ответ выразите в сантиметрах. (4)

3.Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40 и 45 см. стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? Ответ дайте в сантиметрах. (24)

4.В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AA₁ и плоскостью BC₁D. ( )

5.Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁- треугольник АВС, в котором , ВС=2, sinА=0,3. Высота призмы равна . Найдите синус угла между прямой ВС₁ и плоскостью АСС₁. (0,2)

6.В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6 см., и углом при вершине 120º. Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности. (48 +32 )

⇐ Предыдущая 12