Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Занятие 1.2.3. Тема: «Ряд Тейлора». Задача 1.. Указание. Решение. Задача 2.. Указание. Решение. Задача 3.. Указание. Решение. Задача 4.. Указание. Решение

Стр 1 из 2Следующая ⇒


Занятие 1.2.3

Тема: «Ряд Тейлора»

Задача 1.

Разложить функцию

в ряд Тейлора в окрестности точки х = 2.

1)              2)

3)!          4)

5)

 

Указание

Используйте формулу для коэффициентов ряда Тейлора

 при х0 = 2.

 

Решение

Вычислим несколько первых коэффициентов ряда Тейлора, а затем попытаемся определить их зависимость от п и составить общую формулу для ап.

Видим, что все коэффициенты с четными номерами равны нулю, а общий вид коэффициента с нечетным номером n = 2k + 1 можно записать так:

Следовательно, ряд Тейлора для данной функции имеет вид:

Ответ:

 

Задача 2.

Разложить функцию

в ряд Маклорена.

1)          2)!            3)

4)            5)

 

Указание

Используйте разложение в ряд Маклорена функции ех:

 

Решение

Обозначим t = - x3, тогда

Следовательно,

Ответ:

 

Задача 3.

Разложить функцию

в ряд Маклорена.

1)             2)         3)

4)              5)!

 

Указание

Используйте разложение в ряд Маклорена функции ln(1 + x):

 

Решение

Преобразуем функцию к виду:

и найдем разложение в ряд Маклорена функции

Тогда разложение исходной функции можно записать так:

Ответ:

 

Задача 4.

Разложить функцию

в ряд Маклорена.

1)            2)

3)              4)!

5)

 

Указание

Используйте то, что степенные ряды можно почленно интегрировать:

 

Решение

Поскольку

мы можем, используя табличные разложения, получить ряд Маклорена для производной исходной функции, а затем найти разложение arcsin x, исходя из того, что

Ответ:

 


12Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.