Решение.. Задача 2. Задача 3. Задача 4.

Механический (физический) смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки равна производной от закона пути движения этой точки: v(t) = x′(t), ускорение движения равно производной от скорости движения точки или второй производной от закона пути: a(t) = v′(t) = x′′(t)

Задачи на применение физического смысла производной.

Задача 1. Материальная точка движется по закону x(t) = 0,5t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t скорость V = 6м/с .

Решение.

1) x′ (t) = s′ (t) = (0,5t² - t - 4) ′ = t-1

2) V(t) = s′ (t) = t-1

3) V(t) = 6м/с (по условию)

V(t)= t - 1

6 = t – 1;

t=1+6; t=7; Ответ: 7 с.

Задача 2

Вычислить мгновенную скорость материальной точки в момент времени t₀=1, двигающейся по закону x(t)=t²+3t−1

Решение

По определению механического смысла производной получим закон скорости материальной точки: v(t)=x′(t)=(t²+3t−1)′=2t+3

Зная момент времени t₀=1

из условия задачи, находим скорость в этот момент времени:

v(t₀)=2⋅1+3=2+3=5

Получили, что мгновенная скорость точки v=5 в момент t₀=1

Задача 3

Движение материальной точки задано законом x(t)=t²−t+3

Найти в какой момент времени t₀ скорость этой точки будет нулевой.

Решение

Так как скорость это производная закона пути движения: v(t)=x′(t)=(t²−t+3)′=(t²)′−(t)′+(3)′=2t−1

Чтобы найти в какой момент времени t₀ скорость будет равна нулю, составим уравнение v(t₀)=0 и решим его относительно t₀: 2t₀−1=0 , 2t₀=1 t₀=12.

Итак, в момент времени t₀=12, скорость движения материальной точки будет нулевой.

Задача 4.

Материальная точка движется со скоростью, которая меняется по закону V(t) = 15 + 16t – 3t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?

Решение

V(t) = 15 + 16t – 3t²

V′ (t) = (15 + 16t – 3t²)′ =16 – 6t

Т.к ускорение a (t) = V′ (t), то a (t) = 16 – 6t , a(t) = 16 – 6 ×2 , a(t) = 4

12 Следующая ⇒