Главная
Контакты
Случайная статья
|
Нормальное распределение. ВМ 6 ИДЗ 7 2011 Дискретные Случайные Величины
Нормальное распределение
1. Задан вид плотности распределения f(x) случайной величины X. Найти а, функцию распределения F(x), математическое
ожидание М(x), дисперсию D(x), среднеквадратическое отклонение бx и вероятность Р(х>b).
2. Расстояние до цели измеряется прибором, для которого срединное отклонение равно М1. Считая вычисленное расстояние
НСВ с нормальным распределением, МО которой равно истинному расстоянию, определить вероятность события М2
|
|
ВМ 6 ИДЗ 7 2011 Дискретные Случайные Величины
Теорема Муавра – Лапласа
1. Случайная величина х имеет биномиальное распределение с параметрами к и р. Найти вероятности Р(а<x<b); P(x®c); P(s<f(x)<t).
2. В n испытаниях событие А наблюдалось k раз. Найти точечную оценку вероятности р появления события А при одном испытании.
Построить доверительные интервалы для р при доверительных вероятностях Рд (0,8; 0,9; 0,95)
|
| Вар
№
| Задача 1
| Задача 2
|
|
| Задача 1
| Задача 2
|
| Вар
№
|
| М1
| М2
|
|
| к
| р
| а
| b
| ®c
| s
| t
| _f(x)
| n
| к
|
|
| 1
| _f(x)=a(x-1)(1(x-1)-1(x-3))+a(5-x)(1(x-3)-1(x-5)); b=4
_f(x)=a(x-2)(1(x-2)-1(x-5))+a(8-x)(1(x-5)-1(x-8)); b=6
|
| ∆х<10
|
| А
б
|
| 0,25
0,4
|
|
| >50
>56
| 6,1
3,9
| 7,2
4,3
| √x
3√x
|
|
|
| 1
|
| 2
| _f(x)=a(4-x2)(1(x+2)-1(x-2)) ; b=1,6
_f(x)= {a/(1+x2)}(1(x+1)-1(x-1)); b=0,5
|
| ∆х>10
|
| А
б
|
| 0,6
0,7
|
|
| >165
>155
| 4,4
4,9
| 6,1
5,1
| 3√x
lnx
|
|
|
| 2
|
| 3
| _f(x)=asinx(1(x)-1(x-п)); b=п/4
_f(x)=axe-x21(x); b=1,5
|
| |∆х|<50
|
| А
б
|
| 0,35
0,26
|
|
| >50
>84
| 3,3
8,1
| 4,2
10,2
| lnx
√x
|
|
|
| 3
|
| 4
| _f(x)=axe-x1(x); b=2
_f(x)=a(9-x2)(1(x+3)-1(x-3)); b=1,5
|
| ∆х<-10
|
| А
б
|
| 0,45
0,6
|
|
| <90
>130
| 4,1
| 4,9
12,4
| 3√x
√(x+30)
|
|
|
| 4
|
| 5
| _f(x)=a(x+3)(1(x+3)-1(x))+a(3-x)(1(x)-1(x-3)); b=1
_f(x)=ax2(3-x)(1(x)-1(x-3)); b=2,1
|
| ∆х>-10
|
| А
б
|
| 0,7
0,4
|
|
| >105
>76
| 4,4
| 4,9
6
| lnx
3√(x+42)
|
|
|
| 5
|
| 6
| _f(x)=ax2(1-x)(1(x)-1(x-1)); b=0,5
_f(x)= ax(6-x)(1(x)-1(x-6)); b=4,3
|
| |∆х|>20
|
| А
б
|
| 0,3
0,42
|
|
| >89
>96
| 7,9
9,6
| 10,1
10,8
| √x
√x
|
|
|
| 6
|
| 7
| _f(x)=a(x-2)(1(x-2)-1(x-4))+a(6-x)(1(x-4)-1(x-6)); b=2,8
_f(x)= acos2x(1(x+π/2)-1(x-π/2)); b=π/4
|
| ∆х<20
|
| А
б
|
| 0,34
0,52
|
|
| <64
>85
| 6,3
4,8
| 8,2
5,1
| √x
3√(x+18)
|
|
|
| 7
|
| 8
| _f(x)=axe-2x1(x); b=0,5
_f(x)= ae-√x1(x); b=2
|
| ∆х>10
|
| А
б
|
| 0,6
0,64
|
|
| >140
>138
| 5,1
4,9
| 5,4
5,2
| 3√x
lnx
|
|
|
| 8
|
| 9
| _f(x)=ax(1-x)2(1(x)-1(x-1)); b=0,5
_f(x)= a(x-2)(4-x)(1(x-2)-1(x-4)); b=3,5
|
| |∆х|<70
|
| А
б
|
| 0,2
0,6
|
|
| <42
<141
| 3,2
10,3
| 3,9
11,6
| lnx
√x
|
|
|
| 9
|
| 10
| _f(x)=a(x+4)(1(x+4)-1(x))+a(4-x)(1(x)-1(x-4)); b=2,4
_f(x)= asin2x(1(x)-1(x-π)); b=3π/4
|
| ∆х<-10
|
| А
б
|
| 0,65
0,55
|
|
| <200
>108
| 13,9
4,8
| 15,1
5,1
| √x
3√(x-4)
|
|
|
| 10
|
| 11
| _f(x)=ax(2-x)(1(x)-1(x-2)); b=0,6
_f(x)= {a/√x}e-√x1(x); b=5
|
| ∆х>-10
|
| А
б
|
| 0,75
0,4
|
|
| <180
>56
| 5,0
3,9
| 5,2
4,3
| lnx
3√x
|
|
|
| 11
|
| 12
| _f(x)=acosx(1(x+π/2)-1(x-π/2)); b=π/4
_f(x)= a(x-1)(1(x-1)-1(x-3))+a(5-x)(1(x-3)-1(x-5)); b=4
|
| |∆х|>30
|
| А
б
|
| 0,48
0,7
|
|
| >79
>155
| 8,4
4,9
| 10,1
5,1
| √x
3√x
|
|
|
| 12
|
| 13
| _f(x)=a(x-1)(3-x)(1(x-1)-1(x-3)); b=2,5
_f(x)= a(4-x2)(1(x+2)-1(x-2)) ; b=1,6
|
| ∆х<10
|
| А
б
|
| 0,65
0,26
|
|
| <170
>84
| 12,7
8,1
| 13,3
10,2
| √(x+12)
√x
|
|
|
| 13
|
| 14
| _f(x)=ax3(1-x)(1(x)-1(x-1)); b=0,6
_f(x)= asinx(1(x)-1(x-π)); b=π/4
|
| ∆х>10
|
| А
б
|
| 0,44
0,6
|
|
| >96
>130
| 4,5
| 4,8
12,4
| lnx
√(x+30)
|
|
|
| 14
|
| 15
| _f(x)= a(x-2)(1(x-2)-1(x-5))+a(8-x)(1(x-5)-1(x-8)); b=6
_f(x)= axe-x1(x); b=2
|
| |∆х|<30
|
| А
б
|
| 0,4
0,45
|
|
| >76
>113
|
|
5,4
| 3√(x+42)
3√x
|
|
|
| 15
|
| 16
| _f(x)= {a/(1+x2)}(1(x+1)-1(x-1)); b=0,5
_f(x)= a(x+3)(1(x+3)-1(x))+a(3-x)(1(x)-1(x-3)); b=1
|
| ∆х<-10
|
| А
б
|
| 0,6
0,42
|
|
| >165
>96
| 4,4
9,6
| 6,1
10,8
| √x
√x
|
|
|
| 16
|
| 17
| _f(x)= axe-x21(x); b=1,5
_f(x)= ax2(1-x)(1(x)-1(x-1)); b=0,5
|
| ∆х>-10
|
| А
б
|
| 0,25
0,52
|
|
| >50
>85
| 6,1
4,8
| 7,2
5,1
| √x
3√(x+18)
|
|
|
| 17
|
| 18
| _f(x)= a(9-x2)(1(x+3)-1(x-3)); b=1,5
_f(x)= a(x-2)(1(x-2)-1(x-4))+a(6-x)(1(x-4)-1(x-6)); b=2,8
|
| |∆х|>40
|
| А
б
|
| 0,64
0,35
|
|
| >138
>50
| 4,9
3,3
| 5,2
4,2
| lnx
lnx
|
|
|
| 18
|
| 19
| _f(x)= ax2(3-x)(1(x)-1(x-3)); b=2,1
_f(x)= axe-2x1(x); b=0,5
|
| ∆х<10
|
| А
б
|
| 0,6
0,45
|
|
| <141
<90
| 10,3
4,1
| 11,6
4,9
| √x
3√x
|
|
|
| 19
|
| 20
| _f(x)=ax(6-x)(1(x)-1(x-6)); b=4,3
_f(x)= ax(1-x)2(1(x)-1(x-1)); b=0,5
|
| ∆х>10
|
| А
б
|
| 0,55
0,7
|
|
| >108
>105
| 4,8
4,4
| 5,1
4,9
| 3√(x-4)
lnx
|
|
|
| 20
|
| 21
| _f(x)=acos2x(1(x+π/2)-1(x-π/2)); b=π/4
_f(x)= a(x+4)(1(x+4)-1(x))+a(4-x)(1(x)-1(x-4)); b=2,4
|
| |∆х|<40
|
| А
б
|
| 0,75
0,3
|
|
| <180
>89
| 5,0
7,9
| 5,2
10,1
| lnx
√x
|
|
|
| 21
|
| 22
| _f(x)=ae-√x1(x); b=2
_f(x)= ax(2-x)(1(x)-1(x-2)); b=0,6
|
| ∆х<-10
|
| А
б
|
| 0,48
0,34
|
|
| >79
<64
| 8,4
6,3
| 10,1
8,2
| √x
√x
|
|
|
| 22
|
| 23
| _f(x)=a(x-2)(4-x)(1(x-2)-1(x-4)); b=3,5
_f(x)= acosx(1(x+π/2)-1(x-π/2)); b=π/4
|
| ∆х>-10
|
| А
б
|
| 0,65
0,6
|
|
| <170
>140
| 12,7
5,1
| 13,3
5,4
| √(x+12)
3√x
|
|
|
| 23
|
| 24
| _f(x)=asin2x(1(x)-1(x-π)); b=3π/4
_f(x)= a(x-1)(3-x)(1(x-1)-1(x-3)); b=2,5
|
| |∆х|>20
|
| А
б
|
| 0,44
0,2
|
|
| >96
<42
| 4,5
3,2
| 4,8
3,9
| lnx
lnx
|
|
|
| 24
|
| 25
| _f(x)= {a/√x}e-√x1(x); b=5
_f(x)= ax3(1-x)(1(x)-1(x-1)); b=0,6
|
| ∆х<30
|
| А
б
|
| 0,45
0,4
|
|
| >113
>56
|
3,9
| 5,4
4,3
| 3√x
3√x
|
|
|
| 25
|
| 26
| _f(x)=a(x-1)(1(x-1)-1(x-3))+a(5-x)(1(x-3)-1(x-5)); b=4
_f(x)=a(x-2)(1(x-2)-1(x-5))+a(8-x)(1(x-5)-1(x-8)); b=6
|
| ∆х>30
|
| А
б
|
| 0,25
0,4
|
|
| >50
>56
| 6,1
3,9
| 7,2
4,3
| √x
3√x
|
|
|
| 26
|
| 27
| _f(x)=a(4-x2)(1(x+2)-1(x-2)) ; b=1,6
_f(x)={a/(1+x2)}(1(x+1)-1(x-1)); b=0,5
|
| |∆х|<40
|
| А
б
|
| 0,6
0,7
|
|
| >165
>155
| 4,4
4,9
| 6,1
5,1
| 3√x
lnx
|
|
|
| 27
|
| 28
| _f(x)=asinx(1(x)-1(x-π)); b=π/4
_f(x)=axe-x21(x); b=1,5
|
| ∆х<-30
|
| А
б
|
| 0,35
0,26
|
|
| >50
>84
| 3,3
8,1
| 4,2
10,2
| lnx
√x
|
|
|
| 28
|
| 29
| _f(x)=axe-x1(x); b=2
_f(x)=a(9-x2)(1(x+3)-1(x-3)); b=1,5
|
| ∆х>-30
|
| А
б
|
| 0,45
0,6
|
|
| <90
>130
| 4,1
| 4,9
12,4
| 3√x
√(x+30)
|
|
|
| 29
|
| 30
| _f(x)=a(x+3)(1(x+3)-1(x))+a(3-x)(1(x)-1(x-3)); b=1
_f(x)=ax2(3-x)(1(x)-1(x-3)); b=2,1
|
| |∆х|>60
|
| А
б
|
| 0,7
0,4
|
|
| >105
>76
| 4,4
| 4,9
6
| lnx
3√(x+42)
|
|
|
| 30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____>
Задана плотность _f(x, y) распределения пары случайных величин (X, Y). Найти: а) плотность распределения f1(x) случайной величины X, ее математическое ожидание M(X), среднеквадратическое отклонение бx; б) плотность распределения f2(y) случайной величины Y, ее математическое ожидание M(Y), среднеквадратическое отклонение бy; в) коэффициент кор-реляции случайных величин X и Y; г) плотность условного распределения f(x |y) случайной величины X по Y; д) вероятности P(X<a, Y<b); P(X<a); P(X<a| Y=b).
| Вар
№
| _f(x, y)
| D
|
| a
|
| b
|
| 1
| {1/π, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| х2 + y2≤1
| | √0,75
|
| 0,6
|
| 2
| {4(1-xy)/3, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤1
| | 0,4
|
| 0,6
|
| 3
| {2(x2+y2)/π, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| х2 + y2≤1
| | 1/√2
|
| 1/√2
|
| 4
| {4(x+y -xy)/3, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤1
| | 0,6
|
| 0,4
|
| 5
| {2/[(х2 + y2)ln2], при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| x2≤y≤x
| | 0,5
|
| 0,5
|
| 6
| {3(1-xy)/4, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| y2≤x≤1;
| | 0,5
|
| 1/√2
|
| 7
| {3(x+y)/8, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤2; 0≤y≤2-x
| | 1
|
| 1
|
| 8
| {(4-xy)/12, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤2; 0≤y≤2
| | 0,8
|
| 1,2
|
| 9
| {3(x2+2y)/128, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤y≤4-x2
| | 1
|
| 3
|
| 10
| {2(2x+3y)/63, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤3; 0≤y≤x
| | 2
|
| 2
|
| 11
| {15(x2+y)/16, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| x2≤y≤1
| | 0,5
|
| 0,25
|
| 12
| {3(x2+y2), при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤x
| | 0,5
|
| 0,5
|
| 13
| {3(2x+y2)/512, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| y2≤4x≤16
| | 1
|
| 2
|
| 14
| {(3+4xy)/28, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤2; 0≤y≤2
| | 1
|
| 1,5
|
| 15
| {3(у2+x2)/16, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤2; x≤y≤2
| | 1,5
|
| 1,5
|
| 16
| {4(у3 + 2xy)/1215, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤9; 0≤y≤√х
| | 6
|
| 2
|
| 17
| {6xy/√(х2 + y2), при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1;
0≤y≤√(1-х2)
| | 0,5
|
| √0,75
|
| 18
| {28(x3+y)/15, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x; x3≤y≤1
| | 0,5
|
| 0,5
|
| 19
| {5(x2+y)/12, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤y≤1-x2
| | 0,5
|
| 0,5
|
| 20
| {3(1-x2-y2), при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤1-x
| | 0,4
|
| 0,6
|
| 21
| {3/32, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| x2≤y≤4
| | 0,5
|
| 1
|
| 22
| {3(2- x- y)/4, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤2; 0≤y≤2-x
| | 1
|
| 0,5
|
| 23
| {9(1- √(xy))/5, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤1
| | 0,5
|
| 0,5
|
| 24
| {(√x + y)/12, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤4; 0≤y≤√x
| | 2,25
|
| 1
|
| 25
| {1/π, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| х2 + y2≤1
| | √0,75
|
| 0,6
|
| 26
| {4(1-xy)/3, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤1
| | 0,4
|
| 0,6
|
| 27
| {2(x2+y2)/π, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| х2 + y2≤1
| | 1/√2
|
| 1/√2
|
| 28
| {4(x+y -xy)/3, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| 0≤x≤1; 0≤y≤1
| | 0,6
|
| 0,4
|
| 29
| {2/[(х2 + y2)ln2], при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| x2≤y≤x
| | 0,5
|
| 0,5
|
| 30
| {1/π, при (x,y)ЄD; 0, при (x,y)ЄD}
| х2 + y2≤1
| | √0,75
|
| 0,6
|
Для каждого из четырех Объектов /А, Б, В, Г/ задана выборка в виде (*группированного) статистического ряда (последовательности из пяти пар значений {Xi; ni}. / Xi – значение СВ; ni – количество реализаций СВ в выборке/)
По заданному распределению выборки построить гистограмму, полигон, кумулятивную кривую и найти:
2) точечную оценку параметра распределения (методом моментов). Принять при выполне-нии этого пункта задания закон распределения СВ для объектов (А и Б) – нормальный, В – биномиальный, Г - Пуассона;
3) интервальную оценку математического ожидания с доверительной вероятностью Рд, полагая во всех вариантах возможным использования нормального закона распределения для описания СВ при выполнении этого пункта задания.
А – партия деталей с одним контролируемым размером (Хi).
Б – измеряемое локатором расстояние (Хi).
В – отстрел орудия в 100 сериях по 10 выстрелов. СВ (Хi) – число попаданий в цель в одной серии.
Г – количество вызовов на АТС (Хi).
| Вар. №
| объект
| Выборка
|
| Рд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1
| Б
| (1230; 15); (1250;25); (1270;24); (1300;20); (1320;16)
|
| 0,95
|
|
| 2
| Г
| *(0; 15); (1;25); (2;30); (3;20); (4;10)
|
| 0,95
|
|
| 3
| А
| (23,5; 2); (26,1;3); (28,2;4); (29,4;3); (30,1;1)
|
| 0,95
|
|
| 4
| В
| *(2; 12); (4;15); (6;35); (8;23); (10;15)
|
| 0,95
|
|
| 5
| Б
| (1730; 14); (1750;26); (1770;25); (1800;21); (1820;14)
|
| 0,95
|
|
| 6
| Г
| *(0; 72); (1;75); (2;35); (3;12); (4;6)
|
| 0,95
|
|
| 7
| А
| (32,5; 2); (36,1;4); (38,2;7); (39,4;5); (40,1;2)
|
| 0,95
|
|
| 8
| В
| *(2; 10); (4;16); (6;30); (8;28); (10;16)
|
| 0,95
|
|
| 9
| Б
| (2520; 16); (2540;24); (2570;27); (2600;20); (2650;13)
|
| 0,95
|
|
| 10
| Г
| *(0; 25); (1;40); (2;55); (3;30); (4;15)
|
| 0,95
|
|
| 11
| Б
| (1230; 15); (1250;25); (1270;24); (1300;20); (1320;16)
|
| 0,9
|
|
| 12
| Г
| *(0; 15); (1;25); (2;30); (3;20); (4;10)
|
| 0,9
|
|
| 13
| А
| (23,5; 2); (26,1;3); (28,2;4); (29,4;3); (30,1;1)
|
| 0,9
|
|
| 14
| В
| *(2; 12); (4;15); (6;35); (8;23); (10;15)
|
| 0,9
|
|
| 15
| Б
| (1730; 14); (1750;26); (1770;25); (1800;21); (1820;14)
|
| 0,9
|
|
| 16
| Г
| *(0; 72); (1;75); (2;35); (3;12); (4;6)
|
| 0,9
|
|
| 17
| А
| (32,5; 2); (36,1;4); (38,2;7); (39,4;5); (40,1;2)
|
| 0,9
|
|
| 18
| В
| *(2; 10); (4;16); (6;30); (8;28); (10;16)
|
| 0,9
|
|
| 19
| Б
| (2520; 16); (2540;24); (2570;27); (2600;20); (2650;13)
|
| 0,9
|
|
| 20
| Г
| *(0; 25); (1;40); (2;55); (3;30); (4;15)
|
| 0,9
|
|
| 21
| Б
| (1230; 15); (1250;25); (1270;24); (1300;20); (1320;16)
|
| 0,99
|
|
| 22
| Г
| *(0; 15); (1;25); (2;30); (3;20); (4;10)
|
| 0,99
|
|
| 23
| А
| (23,5; 2); (26,1;3); (28,2;4); (29,4;3); (30,1;1)
|
| 0,99
|
|
| 24
| В
| *(2; 12); (4;15); (6;35); (8;23); (10;15)
|
| 0,99
|
|
| 25
| Б
| (1730; 14); (1750;26); (1770;25); (1800;21); (1820;14)
|
| 0,99
|
|
| 26
| Г
| *(0; 72); (1;75); (2;35); (3;12); (4;6)
|
| 0,99
|
|
| 27
| А
| (32,5; 2); (36,1;4); (38,2;7); (39,4;5); (40,1;2)
|
| 0,99
|
|
| 28
| В
| *(2; 10); (4;16); (6;30); (8;28); (10;16)
|
| 0,99
|
|
| 29
| Б
| (2520; 16); (2540;24); (2570;27); (2600;20); (2650;13)
|
| 0,99
|
|
| 30
| Г
| *(0; 25); (1;40); (2;55); (3;30); (4;15)
|
| 0,99
|
|
В качестве пособия для выполнения задания можно использовать В.Е.Гмурман «Руководство
к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М Высшая школа 2003