Ортонормированный базис.. Координаты вектора в ортонормированном базисе.. Скалярное произведение векторов.

2. Ортонормированный базис.

Определение: Базис называется ортонормированным, если:

1). Вектора взаимно перпендикулярны (орто);

2). Их длины =1 (норма).

Пример: ; Пусть:

- образуют ортонормированный базис. Координаты вектора в этом базисе: .

Определение: Система координат с ортонормированным базисом

называется прямоугольной декартовой системой координат.

Вывод: - всегда базис ортонормированный.

3. Координаты вектора в ортонормированном базисе.

Теорема: Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат равны проекциям этого вектора на оси координат.

Док-во: ; ; , где или .

Рассмотрим пространственную систему координат XYZ и вектор

, который равен сумме векторов , где координаты вектора есть или вектор -в ортонормированном базисе.

4. Скалярное произведение векторов.

Определение: Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения векторов:

Док-во:

или и аналогично можно показать второе.

5. Док-во: