Лекция 8.. Декартовая система координат. Разные задачи.. Ортонормированный базис.. Координаты вектора в ортонормированном базисе.. Скалярное произведение векторов.

Лекция 8.

План:

1) Декартовая система координат. Разные задачи.

2) Ортонормированный базис.

3) Координаты вектора в ортонормированном базисе.

4) Скалярное произведение векторов.

Определение: Декартовой системой координат называется совокупность точки – начала координат и базисных векторов.

Замечание: Декартовая система координат может быть прямоугольной или косоугольной, которую ещё называют аффинной.

Определение: Вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, называется радиус вектором.

Задача 1:Пусть задана декартовая система координат точка О и базис и пусть радиус-вектор , а радиус-вектор

; Согласно теореме 4 при вычитании векторов вычитаются координаты

(1) Правило: Для нахождения координат вектора из координат конечной точки надо вычесть координаты начальной точки.

. Найдём вектор

Задача 2: Деление отрезка в данном отношении.

Найти координаты точки M(x; y; z) на отрезке AB, которая делит отрезок в отношении ; Известны точки и .

Решение:

Известно: что , тогда, согласно теореме 1, (из предыдущей лекции) имеем , (т. к. ).

Согласно формуле (1) найдём координаты вектора ;

Согласно теореме 4, т.к. получим: преобразуем и найдём: x; y; z.

имеем:

(2)

Задача 3: Проекция вектора на ось.

Определение: Прямая, с заданным на ней базисным вектором называется осью. Рассмотрим ортогональную проекцию вектора на ось.

Ортогональная проекция:

- угол между вектором и осью .

Замечание: По аналогии найдём проекцию вектора на вектор в виде: .

Теорема: Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось.

Покажем на рисунке: