Векторная алгебра.. Демонстрационный пример решения контрольной работы.. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;. найти угол между векторами и ;. найти проекцию вектора на вектор ;. найти площадь грани ABC; . найти объем пирамиды

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Векторная алгебра.

1. Демонстрационный пример решения контрольной работы.

Даны координаты вершины пирамиды АВСD:

А(5; -3;1), В(0;2;6), С(-1; 4;7), D( 3;-6;5).

Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани ABC;

5) найти объем пирамиды ABCD.

Решение:

1) Запись вектора в системе орт имеет вид , где координаты вектора, орты осей Ох, Oy, Oz соответственно.

Длина или модуль вектора находится по формуле .

Найдем координаты вектора по формуле

, тогда

или в системе орт .

Модуль вектора .

Аналогично, координаты вектора находим по формуле

, тогда

или в системе орт .

Модуль вектора .

Найдем координаты вектора по формуле

, тогда

или в системе орт .

Модуль вектора .

2)Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними:

Теорема.Скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле: .

Скалярное произведение позволяет находить угол между векторами, координаты которых известны. Из определения скалярного произведения имеем:

Найдем угол между векторами и , где

3) Скалярное произведение позволяет находить проекцию вектора на вектор

Найдем проекцию вектора на вектор , где и .

4) Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор такой, что:

1) ;

2) перпендикулярен к плоскости векторов и ;

3) образует с упорядоченной парой векторов и правую тройку (т.е. если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и , то кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки).

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Теорема. Векторное произведение векторов и вычисляется по формуле:

.

Найдем площадь грани ABC, как треугольника, построенного на векторах

и , где и .

Модуль .

Площадь треугольника ABC равна .

5) Смешанное произведение .

Теорема. Пусть , , . Тогда

.

12 Следующая ⇒