Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения

Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения

Основные свойства скалярного произведения:

1) = ;

2) = = , ;

3) = +

4) , отсюда . В частности ;

5) =0 , в частности .

Таблица скалярного произведения базисных векторов .

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть даны два вектора и .

Некоторые приложения скалярного произведения

1. Угол между векторами

Отсюда следует, что если , то а и соответственно

есть условие ортогональностивекторов в координатах.

Векторное произведение векторов, его свойства и приложения

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) ортогонален векторам и , т.е. , ;

2) имеет длину равную , где , ,

т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;

3) векторы , и образуют правую тройку.

Геометрически

Векторное произведение обозначается или .

Основные свойства векторного произведения:

1) ;

2) , ;

3) × ;

4) если , то (если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю), в частности .

Таблица векторного произведениями базисных векторов

Выражение векторного произведения через координаты

Некоторые приложения векторного произведения

1) Установление коллинеарности

Следовательно, две строки пропорциональны, т.е , т.е векторы коллинеарны.

2) Нахождение площадей параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения

где векторы и - стороны параллелограмма

Соответственно площадь треугольника

есть