Таблица 1

Таблица 1

Рис.43

X₁=1,68; X₂=-3,24.

8. Строим исправленные эпюры, умножая каждую единичную эпюру на соответствующее найденное усилие (рис.3,а,б). При этом знак у второй эпюры изменится на противоположный, т.к. X₂ имеет отрицательное значение.

Рис.3

9. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов, суммируя исправленные и грузовую эпюры (рис.4,а):

M₁₃=0;

M₃₁=-0,84-3,24+3=-1,08 кНм;

M₂₄=0;

M₄₂=-0,84-3,24+3=-1,08 кНм;

M₅₃=-1,68+6=4,32 кНм;

M₆₄=-1,68+6=4,32 кНм;

M₆₅=-1,68-6=7,68 кНм;

M₆₇=-12= кНм;

M₇₆=0.

10. Производим деформационную проверку полученной эпюры M.

Проверка подтверждает, что эпюра изгибающих моментов построена правильно.

Рис.4

11. По эпюре моментов строим эпюру поперечных сил (рис.4,б):

12. Строим эпюру продольных сил методом вырезания узлов (рис.5).

N сеч	М_пост кНм	М от временной нагрузки кНм в 1-м во 2-м на прол. прол. конс.			М_max кНм	М_min кНм
	-11,44	-3,72	-8,62	0,69	-10,75	-23,78
а	-1,1	2,91	-2,79	0,02	1,83	-3,89
b	8,93	-1,86	8,19	-0,655	17,12	6,415
c	3,965	-0,93	7,22	-1,328	11,185	1,707
	-1			-2	-1	-3

Контрольные вопросы

1.Какая основная система более рациональна при расчете неразрезных балок? Почему?

2. Почему на протяжении двух соседних пролетов неразрезной балки эпюра не может быть однозначной?

3. Что такое приведенная длина пролета?

12. Р а с ч е т н а н а г р у з к у н а к о н с о л и (рис.42a )

Рис.42

Эпюры М_Р, М_оп и М показаны на рис.42b,c,d.

13. Пользуясь построенными эпюрами от постоянной нагрузки (рис.43a ) и временной нагрузки (рис.43b,c,d ), строим объемлющую эпюру М (рис.43e. ) для второго пролета. Ординаты М_max и М_minопределяем в табличной форме.

Рис.5

Задача 2

Для заданной рамы (рис.6,а) требуется:

· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

· проверить правильность построения эпюр.

Рис.6

Степень статической неопределимости рамы определяем по формуле:

n = 3К - Ш = 3×2 - 4 = 2.

Здесь ввиду симметрии системы можно ввести упрощение в расчете путем группировки неизвестных. В качестве новых, групповых неизвестных возьмем суммы и разности основных неизвестных Х₁ и Х₂. При этом получим симметричные и обратно симметричные эпюры моментов, показанные на рис.7а,б ,а грузовая эпюра на рис.7в . Система двух канонических уравнений вида: d₁₁×Х₁ +d₁₂×Х₂+D_1Р =0;

d₂₁×Х₁ +d₂₂×Х₂+D_2Р =0.

распадется на две системы, каждая с одним неизвестным, причем в одной системе будут только симметричные неизвестные, а в другой - обратно симметричные. Это получается потому, что побочные коэффициенты d₁₂= d₂₁= 0.

Для симметричного неизвестного получаем уравнение

d₁₁×Х₁ +D_1Р =0,

а для обратно симметричного -

d₂₂×Х₂+D_2Р =0.

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений используем способ Верещагина и формулу Симпсона.

Получаем

d₁₁ =

d₂₂ =

После определения опорных моментов строим эпюру М так же, как и при расчете по методу уравнений трех моментов. Эпюры М_Р, М_оп и М показаны на рис.40 b,c,d.

12. Р а с ч е т н а н а г р у з к у в о 2 п р о л е т е (рис.41a) )

Рис.41

М₂ = 0.

Эпюры М_Р, М_оп и М показаны на рис.41b,c,d.

11. Р а с ч е т н а н а г р у з к у в 1 п р о л е т е (рис.40,a )

Рис.40

М₂ = 0.

Рис.7

D_1Р=

Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных умножаем эпюру ( рис.7г) на эту же эпюру:

d_ss =

Сумма всех коэффициентов:

Sd = d₁₁ + d₂₂ =

Для проверки свободных членов уравнений умножаем эпюру М_Р

( рис.7в) на эпюру (рис.7г):

D_SP =

Сумма всех свободных членов уравнений:

SD = D_1Р + D_2Р =

Так как в обоих случаях результаты совпадают, то, следовательно, коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений вычислены правильно.

После подстановки числовых значений перемещений в канонические уравнения находим значения лишних неизвестных.

X₁ = X₂ =

Далее следует единичные эпюры, показанные на рис.7а,б , умножить на найденные значения неизвестных X₁ и X₂ и сложить эти эпюры (рис.8a,b) друг с другом и грузовой эпюрой (рис.8c ). Получим окончательную эпюру моментов, показанную на рис.8д , где значения моментов даны в кНм.

Кинематическая проверка эпюры М выполняется путем ее умножения на эпюру .

D =

Погрешность составляет всего , значит, эпюра М построена достаточно точно.

Для нахождения поперечных сил определяем тангенсы углов наклона эпюры моментов на различных ее участках.

Q_AB = Q_BA = 0;

;

8. По ординатам эпюры Q определяем опорные реакции (рис.39):

Рис.39

9. Статическая проверка:

åY=-q₁×l₁-P-q₂×l₃+R₀+R₁+R₂=-4×6-12-2×1+12,2+19,81+5,97»0.

10. Определяем левые и правые фокусные отношения:

Рис.38

Рис.8

Q_BD =

Q_DB =

Q_DE =

Q_ED =

Q_EF = Q_FE = 0;

Q_DK = Q_KD =

Эпюра поперечных сил показана на рис.11а .

Продольные силы находим из условия равновесия узлов.

Рис.9

Узел B ( рис.9а ) Проецируя силы на оси x и y, получаем

Sx = 2 + Q_BD ×sina + N_BD×cosa = 0;

N_BD=

Sy = - N_BA - 8,938×cosa + N_BD×sina = 0;

N_BA = N_AB =

Узел E ( рис.9с ). Аналогично имеем

Sx = -10,26×sina - N_ED×cosa = 0;

N_ED=

Sy = - N_EF - 10,26×cosa + N_ED×sina = 0;

N_EF = N_FE =

4. Определяем приведённые длины и фиктивные опорные реакции (для определения фиктивных опорных реакций применяем таблицу 2 приложений):

I₀=I; =0; м; м;

5. Подставляем найденные значения и известное значение М₃ в систему уравнений и решаем её:

M₀= -12,43 кНм; M₁= -11,4 кНм.

6. Строим окончательную эпюру М (рис.38,д) как сумму эпюры М_Рдля простых однопролётных балок основной системы (рис.38,в) и эпюры М_оп, построенной от найденных опорных моментов (рис.38,г):

M=M_P+M_оп.

7. Применяя формулу , по эпюре М строим эпюру Q (рис.38,е):

Таблица подсчетов ординат объемлющей эпюры моментов

( показан пример записи)

N сеч	М_пост кНм	М от временной нагрузки кНм в 1-м во 2-м в 3 -м на прол. прол. прол. конс.				М_max кНм	М_min кНм
.......	.......	.......	.......	.......	.......	.......	.......
а		-6		-10			-4
в	-18		-10	-12		-9	-40
.......	.......	.......	.......	.......	......	.......	.......

Пример

Для неразрезной балки (рис.38,а) требуется:

· найти с помощью уравнений трех моментов опорные моменты и построить эпюры М и Q от постоянной нагрузки;

· найти моментные фокусные отношения и построить эпюры М от последовательного загружения каждого пролета

( и консолей) временной нагрузкой;

· построить объемлющую (огибающую) эпюру моментов для второго пролета (считая слева).

Р е ш е н и е

1. Определяем степень статической неопределимости заданной неразрезной балки:

Л=С_оп-3=5-3=2.

2. Выбираем основную систему, вводя шарниры над опорами и принимая за основные неизвестные опорные изгибающие моменты. Кроме этого, заменим заделку пролётом длиной, стремящейся к нулю, и отбросим консоль, заменив её действием момента (рис.38,б).

3. Запишем систему уравнений 3^х моментов:

Для определения продольных сил в сечении Д элемента DB и сечении D элемента DE рассмотрим в равновесии ригеля DB и DE ( рис.10а,б ).

Рис.10

Sx = -N_BD + N_DB - q4sin = 0;

N_DB = - 9,204 + 843/5 = 9,996 кН;

Sx = -N_ED + N_DE - q4sin = 0

N_DE = N_ED + q4sin = - 7,695 + 843/5 = 11,505 кН.

Узел D ( рис.9б )

Sy = -(N_DK + N_DBsin + N_DEsin +Q_DBcos+Q_DEcos) =0;

N_DK = - [(N_DB + N_DE) sin + (Q_DB+Q_DE) cos] = -[(9,996 +11,505) 3/5 +

+ ( 16,66 + 15,341) 4/5] = - 38,501кН.

Эпюра продольных сил показана на рис.11б.

Рис.11

Для статической проверки эпюр Q и N на рис.12 показана рама, отсеченная от опор с действующими на нее силами, и составлены условия равновесия:

Рис.12

Sx = Р - 2 = 2 - 2 = 0;

Sy = 12,67 + 38,501 + 12,825 - 8×8 = 0,004 кН.

Точность расчетов является приемлемой.

Задача 3

Для заданной рамы (рис.13,а) требуется:

· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

· проверить правильность построения эпюр.

Решение

Для определения степени статической неопределимости воспользуемся формулой: n=3К-Ш=3×3-7=2

Переходя к основной системе (рис13б), сохраним симметрию, имеющуюся в заданной системе.

В данном случае удобнее всего сделать разрез по шарниру C и в качестве основных неизвестных принять силы X₁ и X₂.

Остальные опорные моменты могут быть получены через фокусные отношения. При нагружении пролета n они будут равны:

Эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки следует строить одну под другой в следующем порядке:

а) эпюра от загружения левой консоли ( если она есть);

б) эпюра от загружения первого пролета и т.д.

Все эпюры моментов строятся в том же масштабе, что и эпюра моментов от постоянной нагрузки и должны иметь величины моментов на каждой опоре, а для второго пролета - еще и в точках с интервалом 0,25l.

Для определения максимального момента М_max в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки М_пост прибавляют все положительные моменты от временной нагрузки SМ_+вр в данном сечении.

Для определения минимального момента М_min в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки М_пост прибавляют все отрицательные моменты от временной нагрузки SМ_-вр в данном сечении.

М_max = М_пост + SМ_+вр;

М_min = М_пост + SМ_-вр.

Ординаты объемлющей эпюры рекомендуется определять в табличной форме.

Рис.37

Если нагружен только один пролет n, то опорные моменты для этого пролета могут быть получены из совместного решения двух уравнений трех моментов, составленных для опор n-1 и n. Они будут равны:

для левого конца нагруженного пролета

для правого его конца

где и - соответственно левое и правое фокусные отношения пролета n; «фиктивная» реакция соответственно на левом и правом концах нагруженного пролета n.

Если крайняя левая опора шарнирная, то М_n-1=M₀= 0, и поэтому

Аналогичную формулу можно получить для крайнего правого пролета с шарнирной опорой на правом конце.

Рис.13

Так как X₁- симметричное неизвестное, а X₂- обратно симметричное, то d₁₂=d₂₁ = 0 и канонические уравнения имеют вид d₁₁X₁+D₁_p=0; d₂₂X₂+D₂_p=0.

На рис.14a,б,c,д построены эпюры изгибающих моментов ₁ и ₂ от ₁=1, от =1, эпюра и эпюра М_Р от заданной нагрузки .Так как все единичные эпюры ограничены прямыми линиями, то для нахождения перемещений можно воспользоваться способом. Верещагина:

d₁₁=

d₂₂=

D₁_P=

D₂_p=

Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных умножаем эпюру (рис.14.с) на эту же эпюру

Сумма всех коэффициентов, Sd=74,67/EJ+27/EJ=101,67/EJ.

Для проверки свободных членов умножаем эпюру М_Р на эпюру :

Рис.14

D_SP =

Сумма всех свободных членов равна:

SD = D_1Р + D_2Р = (360-270)/EJ = 90/EJ.

После подстановки числовых значений перемещений в канонические уравнения и решая их, находим:

X₁= -D₁_P/d₁₁= -360/74,67 = -4,82кН; X₂ = -D₂_P/d₂₂ = 270/27 = 10кН;

Окончательная эпюра изгибающих моментов (рис.15д ) построена согласно выражению

Х₁ + Х₂ +М_Р.

Кинематическая проверка эпюры М выполняется путем ее умножения на эпюру :

Рис.35

для определения правых фокусных отношений таким же путем получена формула

Для определения фокусных отношений по этим формулам необходимо знать хотя бы одно из них. Для крайних пролетов эти отношения известны. При шарнирном опирании крайнего пролета нулевая точка находится в шарнире крайнего пролета (рис.36 ), поэтому

Рис.36

при заделанном конце балки, что эквивалентно наличию дополнительного пролета длиной l_о = 0 (рис.37 ):

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒