Теорема (о разложении правильной рациональной дроби на простейшие).

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Примеры

2. , разделим на углом, будем иметь

Следовательно, .

Пусть дано уравнение и пусть – корень этого уравнения.

Говорят, что корень кратности k уравнения , если

, а .

Пример

Пусть дано уравнение , найдем кратность корня:

Напомним некоторые сведения из алгебры.

1. Основная теорема алгебры.Всякий многочлен, отличный от постоянной, имеет, по крайней мере, один корень.

2. Если комплексное число является корнем многочлена с вещественными коэффициентами , то и сопряженное ему комплексное число также является корнем многочлена . Если, кроме того, комплексный корень имеет кратность k, то и корень имеет кратность k.

3. Всякий многочлен степени n имеет ровно n корней (вещественных и комплексных). Разложение этого многочлена на множители имеет вид:

где – корни уравнения .

Если, например, корни и являются комплексно сопряженными, то .

Итак, всякий многочлен с вещественными коэффициентами разлагается на линейные или квадратичные (с комплексными корнями) множители с вещественными коэффициентами.

4. Теорема (о разложении правильной рациональной дроби на простейшие).

Правильная рациональная дробь вида может быть представлена тождественно равной ей суммой простейших рациональных дробей, причем в этой сумме:

1) каждому простому вещественному корню а знаменателя соответствует дробь вида ;

2) каждому вещественному корню b кратности k соответствует сумма дробей ;

3) каждой паре простых комплексно сопряженных корней соответствует дробь вида ;

4) каждой паре комплексно сопряженных корней кратности k соответствует сумма дробей вида .

Пример

Выводы:

1. Каждому корню знаменателя отвечает столько слагаемых, какова кратность этого корня.

2. Для вещественных корней в числителях дробей – только коэффициенты, а для комплексных – многочлены 1-ой степени.

– неопределенные коэффициенты. Для нахождения этих коэффициентов применяются следующие методы:

1. Метод неопределенных коэффициентов. Согласно этому методу в правой части разложения дроби на простейшие надо привести дроби к общему знаменателю. В результате получим равенство 2-х дробей с одинаковыми знаменателями, а значит, можно приравнять только числители. Приравнивая в числителе коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения этих коэффициентов.

2. Метод частных значений аргумента. Согласно этому методы в полученное равенство подставляем отдельные значения аргумента, наиболее удобно подставлять вещественные корни знаменателя.

3. Комбинированный метод. Метод состоит в комбинировании двух предыдущих методов. Сначала применяют метод частных значений аргумента (подставляют вещественные корни знаменателя), а затем применяют метод неопределенных коэффициентов.

Пример

Разложить рациональную дробь на простейшие.

Решение.

применим метод частных значений аргумента:

применим метод неопределенных коэффициентов:

, решив систему уравнений, получаем ,

Итак, .

Вопрос 2. Простейшие дроби и их интегрирование.

Так как любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей.

Правильные рациональные дроби вида:

I. ,

II. ,

III. ,

IV. ,

где - вещественные числа, называются простейшими рациональными дробями соответственно I, II, III, IY типов.

Рассмотрим вопрос об интегрировании простейших рациональных дробей первых трех типов.

3. интеграл берется с помощью замены переменной , или методом подведения под знак дифференциала. Этот вопрос был рассмотрен на предыдущей лекции.

Пример

Замечание. Интегрирование рациональных дробей четвертого типа изучить самостоятельно (см. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, Т.1, гл.10, § 7 стр. 330).

Вопрос 3. Интегрирование рациональных дробей.

Из результатов, полученных при изучении первого и второго вопросов данной лекции, следует теорема.

Теорема. Неопределенный интеграл от любой рациональной функции всегда существует (на интервалах, в которых знаменатель дроби ) и выражается через конечное число элементарных функций, а именно, он является алгебраической суммой, членами которой могут быть лишь многочлены, рациональные дроби, натуральные логарифмы и арктангенсы.

Итак, для нахождения неопределенного интеграла от дробно-рациональной функции следует поступать следующим образом:

1) если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель выделяется целая часть, т.е. данная функция представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;

2) затем знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей;

3) эта правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей;

4) используя линейность интеграла и формулы, полученные при рассмотрении 2-го вопроса лекции, находятся интегралы от каждого слагаемого в отдельности.

Пример 1

Решение.

Выше было получено, что , отсюда имеем

Пример 2

Решение.

приведя правую часть к общему знаменателю и приравнивая только числители, имеем

или

далее применим метод неопределенных коэффициентов:

подставив , получим систему уравнений , решая которую находим , следовательно, имеем

, таким образом, окончательно получаем

Пример 3

Решение.

после приведения правой части к общему знаменателю, имеем

или ,

Применим теперь метод неопределенных коэффициентов:

подставляя и решая систему, находим , следовательно, имеем .

Выводы.

1. Для нахождения неопределенного интеграла от дробно-рациональной функции следует поступать следующим образом: если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель выделяется целая часть, т.е. данная функция представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби; затем знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей; эта правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей; затем находятся интегралы от каждого слагаемого в отдельности.

2. Коэффициенты разложения на простейшие дроби можно находить методом неопределенных коэффициентов, методом частных значений аргумента или комбинированным методом.

3. Неопределенный интеграл от любой рациональной функции всегда существует (на интервалах, в которых знаменатель дроби ) и выражается через конечное число элементарных функций, а именно, он является алгебраической суммой, членами которой могут быть лишь многочлены, рациональные дроби, натуральные логарифмы и арктангенсы.

Текст лекции разработал:

доцент кафедры №1 Пушкина В.П.

⇐ Предыдущая 12