Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки: 1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую; 2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример.

Решим систему уравнений: {3x+y=7−5x+2y=3{3x+y=7−5x+2y=3

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему: {y=7—3x−5x+2(7−3x)=3{y=7—3x−5x+2(7−3x)=3

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: −5x+2(7−3x)=3⇒−5x+14−6x=3⇒−11x=−11⇒x=1−5x+2(7−3x)=3⇒−5x+14−6x=3⇒−11x=−11⇒x=1

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y: y=7−3⋅1⇒y=4y=7−3⋅1⇒y=4

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения: 1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений: {2x+3y=−5x−3y=38{2x+3y=−5x−3y=38

12 Следующая ⇒