ПЛАН ЛЕКЦИИ. I. Теоремы сложения и умножения вероятностей. II. Формула полной вероятности. III. Формула Байеса

ПЛАН ЛЕКЦИИ

I. Теоремы сложения и умножения вероятностей

II. Формула полной вероятности

III. Формула Байеса

I. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий.

Пример 1. Производится бросок игрального кубика. Событие – выпадение четного числа очков (2, 4 или 6). Событие – выпадение числа очков, кратного трем (3 или 6). Суммой этих событий будет выпадение числа очков, кратного двум ИЛИ трем (2, 3, 4 или 6).

Если события и несовместные, то – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие состоит в появлении одного из следующих событий: , , , и , и , и , и и .

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей несовместных событий): вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство.

По классическому определению вероятности, – вероятность события , , вероятность события . Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению или события , или события , равно . Тогда вероятность события

Теорема доказана.

Следствие: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство.

Проведем доказательство для трех попарно несовместных событий , , . События и несовместны, поэтому к ним можно применить теорему 1: . События и также несовместны, тогда по теореме 1

Доказательство для большего числа попарно несовместных событий аналогично.

Пример 2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность появления цветного шара. (Здесь и далее будем называть цветным шар любого цвета кроме белого.)

Решение. Цветной шар – красный ИЛИ синий. Событие – из урны извлечен красный шар, . Событие – из урны извлечен синий шар, . Событие – из урны извлечен цветной шар. События и несовместны, тогда по теореме сложения несовместных событий:

С другой стороны, число элементарных исходов, благоприятных для появления цветного шара, . Тогда, по определению вероятности,

Ответ: .

Теорема 2: сумма вероятностей событий , , …, , образующих полную группу, равна единице,

Доказательство.

Появление одного из событий полной группы достоверно, так как в одном испытании обязательно должно наступить одно из событий , , …, , образующих полную группу. Вероятность достоверного события равна единице:

. (1)

События полной группы попарно несовместны, и по теореме сложения вероятностей несовместных событий

. (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), получим

Теорема доказана.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Примеры противоположных событий: 1) выпадение герба и выпадение цифры при одном броске монеты; 2) попадание и промах при одном выстреле по мишени.

Событие, противоположное событию , обозначается .

Теорема 3: сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство.

Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Теорема доказана.

Часто вероятность одного из двух противоположных событий обозначают , а другого – . Тогда в силу предыдущей теоремы .

При решении задач на отыскание вероятности события бывает удобно сначала вычислить вероятность противоположного события , а потом найти вероятность события по формуле, следующей из теоремы 3:

. (3)

Пример 3. В урне 50 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 желтых, 20 белых. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Событие – из урны извлечен цветной шар (безразлично, красный, синий или желтый), тогда противоположное событие – из урны извлечен белый шар, . По формуле (3) .

Ответ: .

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном появлении этих событий. Например, если событие – деталь стандартная, событие – деталь окрашенная, то событие – деталь годная и окрашенная.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже наступило.

Условная вероятность события при условии, что событие уже наступило, определяется по формуле

. (4)

В выражении (4) , так как событие уже наступило.

Теорема 4 (теорема умножения вероятностей): вероятность появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило,

. (5)

Доказательство.

По определению условной вероятности, . Из этой формулы выражается вероятность события : . Теорема доказана.

Вероятность события . Событие не отличается от события , поэтому , тогда

. (6)

Следствие теоремы умножения вероятностей: вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

. (7)

Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, то есть безразлично, какое событие считать первым, какое вторым и т.д.

Пример 4. В ящике лежат 4 тетради в клетку и 6 в линейку. Школьник наугад взял одну тетрадь, а затем вторую. Найти вероятность того, что первой взята тетрадь в клетку, а второй – в линейку.

Решение. Событие – первой взята тетрадь в клетку, . Событие – второй взята тетрадь в линейку. Вычислим вероятность этого события в предположении, что событие наступило, то есть его условную вероятность . Вероятность события (первой взята тетрадь в клетку, а второй – в линейку) по теореме умножения вероятностей .

Ответ: .

Событие называется независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , то есть если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:

. (8)

Подставим выражение (8) в соотношение (6):

Тогда

, (9)

то есть для независимых событий условная вероятность события в предположении, что наступило событие , равно его безусловной вероятности.

Теорема 5 (теорема умножения вероятностей независимых событий): вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

. (10)

Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события называются зависимыми.

Пример 5. В первом ящике 300 болтов, из которых 75 с резьбой М12, а остальные с резьбой М10. Во втором ящике 200 гаек, из которых 80 с резьбой М12, а остальные с резьбой М14. Рабочий берет наудачу один болт и одну гайку. Найти вероятность того, что они подойдут друг другу.

Решение. Событие – резьба взятого болта М12, . Событие – резьба взятой гайки М12, . Болт и гайка подойдут друг другу, если будут иметь резьбу М12, то есть если наступит событие . События и независимые, тогда по теореме 5 .

Ответ: .

Если события и независимы, то независимы также события и , и , и .

Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных событий. Например, если события , и независимы в совокупности, то независимы события и , и , и , и , и , и .

Следствие теоремы умножения независимых событий: вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

. (11)

Если события , , …, независимы в совокупности, то противоположные им события , , …, тоже независимы в совокупности.

Пусть в результате испытания могут появиться событий, независимых в совокупности, или некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Требуется определить вероятность наступления хотя бы одного из этих событий. Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий.

Теорема 6: вероятность появления хотя бы одного из событий , , …, , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, :

. (12)

Доказательство.

Пусть событие состоит в появлении хотя бы одного из событий , , …, . Событие – ни одно из событий , , …, не наступило. События и являются противоположными, следовательно, по теореме 3, сумма их вероятностей равна единице: . Из этого равенства, используя теорему 5 умножения вероятностей для независимых событий, получим

или

Теорема доказана.

Если события , , …, имеют одинаковые вероятности, равные , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

. (13)

Пример 6. Четыре стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания в мишень для каждого из них равны 0,9, 0,8, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень поражена.

Решение.

Событие – мишень поражена. Событие – мишень не поражена. Вероятности поражения мишени каждым стрелком соответственно равны , , , , а вероятности промаха , , , . Событие наступит, если все четыре стрелка промахнутся, то есть , тогда

Ответ: 0,9976.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 7. Событие – появление двух очков при одном броске игрального кубика. Событие – появление четного числа очков. События и совместные.

Теорема 7 (теорема сложения вероятностей совместных событий): вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

. (14)

Доказательство.

По условию теоремы, события и совместны. Поэтому событие произойдет, если наступит одно из трех несовместных событий , или . По теореме 1 сложения вероятностей несовместных событий,

. (15)

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий или . По теореме 1 сложения вероятностей несовместных событий,

откуда следует, что

. (16)

На основании этой же теоремы

откуда следует, что

. (17)

Подставляя выражения (16) и (17) в формулу (15), получим

Теорема доказана.

Пример 8. Два орудия стреляют по цели, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что цель поражена.

Решение.

Событие – попадание в цель первого орудия, , событие – попадание в цель второго орудия, . События и совместные, тогда по теореме 7 .

Ответ: 0,88.

II. Формула полной вероятности. Следствием теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Пусть событие может наступить при условии наступления одного из несовместных событий , , … , которые образуют полную группу. Эти события называются гипотезами.

Теорема 8: вероятность события , которое может наступить только при условии появления одного из несовместных событий , , … , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

. (18)

Доказательство.

Событие может наступить, если наступит одно из несовместных событий , , … , то есть наступление события означает появление одного из несовместных событий , , …, . По теореме 1 сложения вероятностей несовместных событий, вероятность события

. (19)

Преобразуем каждое слагаемое в правой части выражения (19), используя теорему 4 умножения вероятностей:

, , …, .

Подставим правые части этих равенств в формулу (19):

Теорема доказана.

Формула (18) называется формулой полной вероятности.

Пример 9. Имеется две урны с черными и белыми шарами. В первой урне 10 черных и 20 белых шаров, во второй – 20 черных и 10 белых. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из наудачу взятой урны, будет белым.

Решение.

Событие – наудачу извлеченный шар белый. Гипотеза – шар взят из первой урны, гипотеза – шар взят из второй урны. Урна выбирается наудачу, поэтому вероятности гипотез одинаковы: . Условные вероятности события при каждой из введенных гипотез , . Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:

Ответ: .

III. Формула Байеса. Пусть произведено испытание, в результате которого наступило событие . Определим, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие наступило, то есть будем искать условные вероятности , , …, .

Найдем условную вероятность . По теореме умножения вероятностей 4 (формула (5)), , откуда

Заменяя по формуле полной вероятности, получим

. (20)

Аналогично может быть вычислена условная вероятность любой гипотезы ( ):

. (21)

Полученные формулы (20), (21) называются формулами Байеса. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример 10. Имеется две урны с черными и белыми шарами. В первой урне 10 черных и 20 белых шаров, во второй – 20 черных и 10 белых. Шар, наудачу извлеченный из наудачу взятой урны, оказался белым. Найти вероятность того, что он извлечен из первой урны.

Решение.

Событие – наудачу извлеченный шар белый. Гипотеза – шар взят из первой урны, гипотеза – шар взят из второй урны. Урна выбирается наудачу, поэтому вероятности гипотез одинаковы: . Условные вероятности события при каждой из введенных гипотез , . Вероятность события . Условную вероятность гипотезы найдем по формуле Байеса (20):

Ответ: .

⇐ Предыдущая 12