ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

VI. Статистическое определение вероятности. Наряду с вероятностью одним из основных понятий теории вероятностей является относительная частота.

Относительная частота события – это отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

, (10)

где – число появлений события , – общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Определение же относительной частоты предполагает, что испытания были проведены фактически, то есть вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного значения. Это постоянное значение равно вероятности появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Слабая сторона классического определения вероятности состоит в том, что часто бывает невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Также трудно бывает указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используются другие определения, в частности, статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимается относительная частота этого события или число, близкое к ней.

Свойства вероятности, следующие из ее классического определения, сохраняются и при статистическом определении.

Для существования статистической вероятности события требуется выполнение следующих условий:

1) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие наступает или не наступает;

2) устойчивость относительных частот появления события в различных сериях большого числа испытаний.

Пример 6. Стрелок произвел 20 выстрелов по мишени и 17 раз попал в нее. Найти относительную частоту попаданий в мишень.

Решение. Относительную частоту попаданий в мишень найдем по формуле (10): .

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

VII. Геометрическое определение вероятности. Для того чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок длины составляет часть отрезка длины . На отрезок наудачу поставлена точка.

Это означает выполнение следующих предположений:

1) поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;

2) вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка .

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок

определяется формулой

. (11)

Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры . На фигуру наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

1) поставленная точка может оказаться в любой точке фигуры ;

2) вероятность попадания точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее формы, ни от ее расположения относительно фигуры .

В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру определяется формулой

, (12)

где – площадь фигуры , – площадь фигуры .

Данные выше определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области , то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область – часть области , определяется формулой

. (13)

При классическом определении вероятность достоверного события равна единице, а невозможного – нулю. Справедливы и обратные утверждения: если вероятность события равна единице, то событие достоверно; если нулю – то невозможно. В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области равна нулю, но это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.

Пример 7. На плоскости начерчены две концентрические окружности радиусами 1 и 2 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное двумя окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца . Площадь большого круга . Искомую вероятность найдем по формуле (12): .

Пример 8. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 17 и 18 часами дня. По договоренности, студент, пришедший первым, ждет второго в течение 15 минут, а потом уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает время своего прихода между 17 и 18 часами.

Решение. Будем вести отсчет времени в минутах от 17:00. Обозначим моменты прихода на встречу первого и второго студента соответственно через

. По условию задачи величины

могут принять любые значения от 0 до 60 минут, то есть должны выполняться двойные неравенства:

. Введем прямоугольную систему координат

. В этой системе координат указанным двойным неравенствам удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих квадрату OABC (рисунок). Поэтому квадрат OABC является фигурой

, координаты точек которой представляют собой все возможные значения моментов прихода студентов на встречу.

Встреча состоится, если разность между моментами прихода студентов по абсолютной величине не превысит 15 минут, то есть если . Это неравенство эквивалентно двойному неравенству или системе неравенств

(14)

Точки квадрата OABC, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы, лежат ниже прямой , а точки, координаты которых удовлетворяют второму неравенству системы, лежат выше прямой . Из рисунка видно, что множество точек, удовлетворяющих системе неравенств (14), образует шестиугольник ODEBFK. Этот шестиугольник является фигурой , координаты точек которой определяют моменты прихода студентов и , благоприятные для их встречи.

Таким образом, вероятность встречи студентов

Ответ: .

ЛЕКЦИЯ №

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

12 Следующая ⇒