Контакты

Случайная статья

Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения

Пусть A – квадратная матрица.

Матрица B называется обратной к матрице A, если

Обратная матрица обозначается A^-1 и .

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Уравнение вида называют простейшим матричным уравнением. Если A – квадратная невырожденная матрица, то решением такого уравнения будет матрица .

Если уравнение имеет вид , то .

Пример 1 Найти матрицу обратную данной:

Решение

1) Найдем определитель матрицы A.

Следовательно, матрица А невырожденная и имеет себе обратную.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

3) Запишем A^-1:

4) Выполним проверку:

Пример 2 Решить матричное уравнение:

Решение

Задачи для решения

1 Найти матрицу, обратную данной:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и)

к) л) м) н)

о) п) .

2 Решите матричное уравнение:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к) .

Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений

Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде

Пусть дана система линейных уравнений:

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде столбцевых матриц:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или

A·X = B (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Отсюда

Х = B.

Таким образом, чтобы решить систему уравнение, нужно:

1) Найти обратную матрицу .

2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов В, т. e. Х = B.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = = 5 2 2 + (-1) 3 4 + (-1) 1 3 - ((-1) 2 4 + 5 3 3 + 1 (-1) 2) =

= 20 - 12 - 3 - (- 8 + 45 - 2) = 5-35 = -30.

∙ = - 5; A₂₁ = ; A₃₁ =

A₁₂ = A₂₂ = ; A₃₂ = ;

A₁₃ = ∙ ; A₂₃ = A₃₃ =

A^-1 = = ;

Cделаем проверку:

A×A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = × = .

Проверка:

(верно)

Решением системы является набор (1, 2, 3): x = 1; y = 2; z = 3.

12 Следующая ⇒

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.