Инструкционная карта. Пределы числовых последовательностей

Инструкционная карта

практического занятия № 7

по учебной дисциплинеЕН.01 Математика

Специальности:

13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электро-механического оборудования (горная промышленность)»

23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (автомобильном)»

Тема занятия: «Вычисление пределов функций в точках и на бесконечности» функций в точках»

Цели занятия:

Дидактическая: Отработать навыки нахождения пределов функций в конкретных заданных точках и на бесконечности.

Воспитательная: в процессе решения упражнений систематически обращать внимание студентов на приемы вычислений, оформление записей решений в тетрадях при выполнении практических заданий, правильное использование символики и терминологии; продолжать формировать у студентов такие методы научного познания, как анализ, сравнение, обобщение.

Дисциплинарная интеграция: физика; общая электротехника; техническая механика, материаловедение.

Методическое обеспечение: опорные конспекты по указанной теме; задания для индивидуальной отработки учебного материала.

Теоретическое обоснование работы:

1. Пределы числовых последовательностей

Числовые последовательности.Формула общего члена. Предел числовой последовательности. Сходящаяся и расходящаяся последовательности. Ограниченная последовательность. Монотонная последовательность. Теорема Вейерштрасса.Основные свойства пределов. Некоторые замечательные пределы.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, … , n –1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁ ,u₂ , u₃ , …, u_n_-₁ ,u_n , …,кратко обозначаемый { u_n}

и называемый числовой последовательностью. Величина u_n называется общим членомпоследовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой u_n = f (n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ;эта формула называется формулой общего члена.Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

П р и м е р ы числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел ;

2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность приближённых значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a -ε ,a + ε).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что u_n≤ M для всех n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Теорема Вейерштрасса.Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).

Основные свойства пределов.Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n} и { v_n}- две сходящиеся последовательности, то:

Предел функции. ЧислоL называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a :

если для любого ε > 0 найдётся такое положительное число σ = σ( ε), зависящее от ε, что из условия | x - a | < σ следует | f ( x ) – L | < ε

Это определение означает, что L есть предел функции y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к L , когда значение аргумента x приближается к a. Геометрически это значит, что для любого ε> 0 можно найти такое число σ, что если x находится в интервале ( a - σ, a + σ), то значение функции лежит в интервале ( L - ε, L + ε). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

Следует помнить:

12 Следующая ⇒