Предел функции на бесконечности

Лекция

Предел функции на бесконечности

Рассмотрим несколько видов записи предела функции на бесконечности:

1.Дана функция y=f(x), в области определения которой содержится луч [a;+∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

В этом случае используется запись: lim _x_→+_∞ f(x)=b

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении x к плюс бесконечности равен b).
2. Если дана функция y=f(x), в области определения которой содержится луч (−∞;a], и прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), то в этом случае используется запись: lim _x_→−_∞ f(x)=b

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении x к минус бесконечности равен b).
3. Если одновременно выполняются соотношения:

lim _x_→+_∞ f(x)=b и lim _x_→−_∞ f(x)=b — то можно объединить их одной записью:

lim _x_→±_∞ f(x)=b.

Но обычно используют более экономную запись: lim _x_→_∞ f(x)=b

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении x к бесконечности равен b).

В этом случае прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) как бы с двух сторон.

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела в точке.

Приведём их (с соответствующими изменениями).

1. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

lim x→∞ kxm=0.

2. Если lim _x_→_∞ f(x)=b, lim _x_→_∞ g(x)=c, то

а) предел суммы равен сумме пределов:

lim x→∞ (f(x)+g(x))=b+c;

б) предел произведения равен произведению пределов:

lim x→∞ (f(x)g(x))=bc;

в) предел частного равен частному пределов (разумеется, при условии, что c≠0):

lim x→∞ f(x)g(x)=bc;

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

12 Следующая ⇒