ЛЕКЦИЯ-3 «Обратная матрица».. Алгоритм вычисления обратной матрицы

ЛЕКЦИЯ-3 «Обратная матрица».

Для каждого числа существует обратное число , такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования числа , то для существования матрицы таким условием является требование .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то такая квадратная

матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае при - вырожденной, или особенной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица А – вы-

рожденная и обратная матрица не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу : .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле (1).

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы исходя из ее определения (п.5 не обязателен).

Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле: , где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

12 Следующая ⇒