Определение асимптоты. Виды асимптот.

ЛЕКЦИЯ № 9

Раздел 2. Математический анализ.

Тема: Асимптоты функции.

Цели: усовершенствовать методы исследования функции с помощью производной, дать определение асимптоты кривой, усвоить правила нахождения асимптот функции.

План.

1. Определение асимптоты. Виды асимптот.

2. Примеры нахождения асимптот функции.

1. Определение асимптоты. Виды асимптот.

Асимптотою кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается кривая при неограниченном ее удалении от начала координат

( при х→0, или у→0)

Асимптоты бывают: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

а) Вертикальные асимптоты.

График функции y=f(x) при х→а имеет вертикальную асимптоту, если х=а является точкой разрыва ІІ рода для данной функции и выполняется условие

або ,

При этом х=а есть уравнение вертикальной асимптоты.

Примером вертикальной асимптоты есть пряма х=0 (ось Оу) для графика элементарной функции - гиперболы.

б) Горизонтальная асимптота.

График функции y=f(x) при х→+∞ или при х→-∞ имеет горизонтальную асимптоту, если

Если предел слева равен пределу справа, то горизонтальная асимптота одна. Если пределы слева и справа различные, то функция имеет две горизонтальные асимптоты.

Может случиться, что только один из пределов конечен, тогда график функции имеет только одну горизонтальную асимптоту. Если же оба предела бесконечные, то график функции не имеет ни одной горизонтальной асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: у=b. (Рис.8).

в) Наклонная асимптота.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b. Если она существует, то справедливо равенство:

, откуда получаем формулы для нахождения параметров k і b:

; (1)

Нужно отдельно рассматривать случаи: х→+∞ и х→-∞.

На рис.7 изображена наклонная асимптота.

Рис.7. Рис.8.

12 Следующая ⇒