Директрисы фигуры эллипс. Гипербола и ее свойства

Директрисы фигуры эллипс

С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a / e ; x = - a / e .

Теорема.Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением :

• Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.

• Координаты левого фокуса: c² = a ² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂ (-3; 0).

• Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение границы фигуры эллипс, если его фокусы F ₁ (0; 0), F₂ (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение границы имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2 c = , таким образом, a² – b² = c² = 1/2

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого искомое уравнение имеет вид: .

Гипербола и ее свойства

Определение. Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемыхфокусамиесть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению | r ₁ – r ₂ | = 2 a . F ₁ , F ₂ – фокусы гиперболы. F ₁ F ₂ = 2 c .

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда :

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью.

Ось 2 b называется мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение.Отношение называется эксцентриситетомгиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а ² = b²

Если а = b , e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение.Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисамигиперболы. Их уравнения:

Теорема.Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство.Изобразим схематично гиперболу.