Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок A, второй – B, третий – A и т.д. 1. Найти вероятность того, что выиграл A не позднее k-го броска. 2. Каковы вероятности выигрыша д

Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок A, второй – B, третий – A и т.д. 1. Найти вероятность того, что выиграл A не позднее k-го броска. 2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре? k=4 Вроде все просто. Но не могу понять как ее решать .

Как раз все не так просто.
Кстати, в первом задании есть неоднозначность истолкования: Найти вероятность того, что выиграл A не позднее 4-го броска (к=4) - похоже надо считать все броски (и А и В) - так я и буду считать (а может быть надо считать только броски А?).
Обозначим события:
А1 - в первом броске выпал орел,
А2 - во втором броске выпал орел,
.
.
.
Ак - в к-м броске выпал орел,.....
Понятно, что вероятности всех этих событий =1/2.

1. Пусть событие С - выиграл A не позднее 4-го броска.
Тогда С=А1+(неА1)*(неА2)*А3 (первое слагаемое означает, что А выиграл на первом броске, а второе, что на третьем (после того, как кинул В), а на 4-м А никак выиграть не может, так как в моем толковании условия четные броски делает только В, а нечетные только А).
Тогда Р(С)=Р(А1+(неА1)*(неА2)*А3 )=(1/2)+(1/2)^3= 5/8.

2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?

Пусть событие С - игрок А выиграл (при сколь угодно длительной игре). Тогда
С=А1+(неА1)*(неА2)*А3 +(неА1)*(неА2)*(неА3)*(неА4)*А5+.... .
Точно также, как и ранее (используя несовместность слагаемых и независимость сомножителей):
Р(С)=(1/2)+(1/2)^3 +(1/2)^5+....=2/3 (сумма беск. геом. прогр.).
Тогда вероятность выигрыша для В (при сколь угодно длинной игре)=1-2/3=1/3.
Вроде так.
Расчеты лучше проверить.

Корзина содержит n занумерованных шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события: B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения; C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Определить вероятности событии B, C. Найти предельные значения вероятностей при n->00.

Уже не первый раз встречаю такую задачу, так что решил наконец-то попробовать разобраться с ней.

Введем события:

А1 – при первом извлечении вынут шар № 1

А2 – при втором извлечении вынут шар № 2

Аn – в последнем извлечении вынут шар № n.

Ясно, что

В=А1+А2+…+Аn,

а С – событие, противоположное В :

С=(неА1)*(неА2)*…*(неАn).

Сначала думал, что проще найти вероятность события С (формула вероятности произведения произвольного числа событий много проще формулы вероятности суммы произвольного числа событий), но натолкнулся на трудности, которые не смог преодолеть (там возникает формула полной вероятности для вычисления УСЛОВНОЙ вероятности).

Так что будем вычислять вероятность события В.

Для этого отыскал формулу вероятности суммы произвольного числа событий (она доказывается по индукции):

Р(А1+А2+…+Аn)=[(сумма по всем событиям Аi) P(Ai)] - [(сумма по всем различающимся неупорядоченным парам событий Ai и Aj)] P(Ai*Aj)] + [(сумма по всем различающимся неупорядоченным тройкам событий Ai , Aj, Ak)] P(Ai*Aj*Ak)] - …. + [(-1)^(n+1) *P(A1*A2*…*An)] .

Посчитаем вероятности событий, входящих в правую часть этой формулы. Все их будем считать по классическому определению:

Р=(число благоприятствующих исходов эксперимента)/(общее число исходов эксперимента).

Результат каждого эксперимента по извлечению шаров будем выражать перестановкой из чисел {1, 2, …, n}, причем на 1-м месте будет стоять номер шара, извлеченного первым, и т.д. . Тогда очевидно, что общее число исходов такого эксперимента равно числу перестановок, т.е. n! . Далее будем обозначать С(n,k) – число сочетаний из из n по k.

Ясно, что в первой квадратной скобке сумма состоит из C(n,1) = n одинаковых слагаемых, так как для всех событий Ai число благоприятных исходов равно числу перестановок из (n-1) элемента (т.е. = (n-1)!), так как одно i-е место в перестановке фиксировано (= i), а остальные (n-1) мест могут заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi)=(n-1)!/n! .

Во вторых квадратных скобках слагаемых, очевидно, C(n,2) штук и опять они все одинаковы: число благоприятных исходов для события Ai*Aj равно (n-2)!, так как два места ( i-е и j-е) в перестановке фиксированы (= i и j соответственно), а остальные (n-2) мест могут заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi*Aj)=(n-2)!/n! .

В третьих квадратных скобках слагаемых, очевидно, C(n,3) штук и опять они все одинаковы: число благоприятных исходов для события Ai*Aj*Ak равно (n-3)!, так как три места ( i-е , j-е и k-e) в перестановке фиксированы (= i , j и k соответственно), а остальные (n-3) мест могут заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi*Aj*Ak)=(n-3)!/n! .

В последнем слагаемом число благоприятных исходов для события A1*A2*…*An равно 1 (это единственная перестановка 1, 2, …, n ), а потому P(A1*A2*…*An)=1/n!.

Подставляя, получим :

Р(А1+А2+…+Аn)= C(n,1)* (n-1)!/n! - C(n,2)* (n-2)!/n! + C(n,3)* (n-3)!/n! - … + (-1)^(n+1)* 1/n!.

После подстановки в это выражение формул для числа сочетаний многое сокращается и окончательно получается:

Р(В)=1/1! – 1/2! + 1/3! - … +(-1)^(n+1)* 1/n! .

Далее, Р(С)=1-Р(В),т.е. :

Р(С)=1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + … +(-1)^n* 1/n! .

Эти формулы – правильные. Я проверил их для n=1,2,3,4. Но, возможно, есть и более простой их вывод.

Учитывая известное разложение для функции е^x , получим , что при предельные вероятности (n->00):

Р(С) = 1/е, Р(В) = 1 – 1/е.

P.S. Из этих формул можно указать еще один (статистический) способ приближенного вычисления числа е. Думаю, что он самый неэффективный из существующих.

Корзина содержит 6 занумерованных шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекаются по одному без возвращения. Найти вероятность того, что по крайней мере для трех шаров номер извлечения совпадет с номером шара.

Странно, что задают такие непростые задачи.
Мне кажется, что схема решения может быть следующей.
Введепм события:
В1 - В ТОЧНОСТИ для одного шара номер его извлечения совпал с собственным номером,
В2 - В ТОЧНОСТИ для двух шаров номер их извлечений совпал с их собственными номерами,
.
.
.
В6 - В ТОЧНОСТИ для шести шаров номер их извлечений совпал с их собственными номерами.
А - по крайней мере для трех шаров номер извлечения совпадет с номером шара.
Тогда ясно, что А есть сумма несовместных событий:
Р(А)=Р(В3+В4+В5+В6)=Р(В3)+Р(В4)+Р(В5)+Р(В6).
Найдем значение каждого слагаемого.Посчитаем вероятности событий, входящих в правую часть этой формулы. Все их будем считать по классическому определению:
Р=(число благоприятствующих исходов эксперимента)/(общее число исходов эксперимента)=m/n.
Результат каждого эксперимента по извлечению шаров будем выражать перестановкой из чисел {1, 2, …, 6}, причем на 1-м месте будет стоять номер шара, извлеченного первым, и т.д. . Тогда очевидно, что общее число исходов такого эксперимента равно числу перестановок, т.е. n= 6! .

1) Рассмотрим В6. Благоприятна лишь одна исходная перестановка {1, 2, …, 6}, поэтому m=1.
2) Рассмотрим В5 - это невозможное событие (если совпадут 5, то совпадут все 6), т.е. m=0.
3) Рассмотрим В4. Четверку совпавших можно выбрать С(6,4)=15 способами, а остальные два шара можно извлечь только одним способом, чтобы совпавших осталось ровно 4. Поэтому m=15.
3) Рассмотрим В3. Тройку совпавших можно выбрать С(6,3)=20 способами, а остальные три шара можно извлечь только двумя способами (убедитесь), чтобы совпавших осталось ровно 3. Поэтому m=20*2=40.

Итак,
Р(А)=1/6!+15/6!+40/6!=56/720=7/90.

Здравствуйте. Я тут случайно в инете нашел такую задачку:
Представьте себе телевизионное игровое шоу. На сцене — четыре двери, за одной из которых лежит большой приз. Сначала игроку предлагают выбрать одну из четырех дверей. Когда игрок ответит, какую дверь он решил выбрать, ведущий громко кричит: «Компьютер, уберите два неверных варианта!». Две двери с грохотом закрываются железными решетками (за этими дверями точно нет приза; дверь, выбранная игроком, обязательно остается в игре). После этого ведущий обращается к игроку: «У вас остался последний шанс. Сейчас вы можете передумать и выбрать другую из двух оставшихся дверей. Это решение будет уже окончательным». Игрок чешет в затылке, тычет пальцем в одну из двух оставшихся дверей, звучит музыка, дверь торжественно открывается, игрок утаскивает с собой приз (если он там был).
Внимание, вопрос! как лучше поступить игроку в конце игры?
а) остаться при своем мнении, то есть выбрать ту же дверь, что в начале игры.
б) изменить свое первоначальное решение и выбрать вторую из оставшихся двух дверей;
в) окончательный выбор не имеет значения — шансы на выигрыш никак не изменятся.

Просто хочется знать ответ

Формула полной вероятности. Гипотезы:
Н1 - при первом выборе указана дверь, за которой приз есть.
Н2 - при первом выборе указана дверь, за которой приза нет.
События:
А - приз находится за той дверью, которая выбрана первоначально.
В - приз находится за второй из оставшихся дверей.

Р(А)=Р(Н1)*Р(А/Н1)+Р(Н2)*Р(А/Н2)= (1/4)*1+(3/4)*0=1/4

Р(В)=Р(Н1)*Р(В/Н1)+Р(Н2)*Р(В/Н2)= (1/4)*0+(3/4)*1=3/4

Можно было, конечно, Р(В)=1-Р(А)=3/4.

Помогите, пожалуйста, разобраться.
Через точку прямого угла провести прямую так, чтобы периметр получившегося треугольника был наименьшим.

Решил.
Но решение достаточно громоздкое, хотя по дороге применял много хитрых упрощающих преобразований (писать их очень громоздко).
Приведу основные этапы.
Пусть точка, через которую проходят прямые, имеет (фиксированные) координаты (а,b ).Пусть х - ОСТРЫЙ угол, под которым прямая пересекает ось абсцисс (меняющийся параметр от 0 до пи/2).
Обозначим k=a/b.
Тогда периметр прямоуг. тр-ка можно выразить так:
P=b*(1+ctgx+1/sinx+k*tgx+k+k/cosx)
Тогда производная:
P'=b*{k/(1-sinx)-1/(1-cosx)}
Приравнивая ее к 0, получим уравнение:
sinx-k*cosx=1-k

Получил следующее решение этого уравнения:

x=arcsin[(1-k+k*sqrt(2*k))/(1+k^2)]

Думаю, что формула верна, так как при проверяемых значениях k дает правильные значения:
при k=0 дает х=пи/2
при k=бесконечности дает х=0
и очень важно, что
при k=1 дает х=пи/4

Странно, что такое дают студентам

⇐ Предыдущая 1 23