Теорема Пифагора

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Теорема Пифагора

c²=а² + b²

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пропорциональные отрезки

h² =

а² =

b² =

С = 90⁰ А = α

с = АВ – гипотенуза

а = ВС – катет, противолежащий к α

b = АС – катет, прилежащий к углу α

СИНУС

Отношение противолежащего катета к гипотенузе

КОСИНУС

Отношение прилежащего катета к гипотенузе

ТАНГЕНС

Отношение противолежащего катета к прилежащему

КОТАНГЕНС

Отношение прилежащего катета к противолежащему

Свойства прямоугольного треугольника

А+

В = 90 ̊ Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 ̊

А = а = с

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в равен половине гипотенузы

а = с А =

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета,

равен 3

m = c = R

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине и является радиусом описанной окружности

Признаки равенства прямоугольных треугольников

По гипотенузе и катету

а = с =

По катету и прилежащему острому углу

А = А₁ b =b₁

По катету и противолежащему острому углу

А = А₁ а = а₁

По гипотенузе и острому углу

А = А₁c = c₁

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

=1 – основное тригонометрическое тождество

формулы приведения

(90 ̊– α) =

cos(90 ̊ – α) =

(180 ̊– α) =

cos(180 ̊– α) = –

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ

30 ̊	45 ̊	60 ̊

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

АВСD - четырехугольник

А +

В +

С +

D = 360°

S =

АС, ВD - диагонали

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

ABCD- параллелограмм AB

CD BC

AD Параллелограммом называется четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

1) AB=CD; BC=AD

D В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны 2) AC

BD = O, AO = OC, BO = OD Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. 3)

А +

В = 180⁰ В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180⁰ 4)

² +

² = a² + b² + c² + d² где

= AC;

= BD – диагонали; a = AD; b = AB; c = BC; d = CD – стороны 5) P = 2(a + b) – периметр параллелограмма, где a = AD; b = AB

1) (AB

CD; AB = CD)

(ABCD-параллелограмм) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 2) (AB = CD; BC = AD)

(ABCD-параллелограмм) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм 3) (AO = OC; BO = OD, где O = AC

BD)

(ABCD-параллелограмм) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

S = ah, где a = AD – основание h = BH – высота

S = ab

, где а = AD, b = AB,

a =

BAD

S =

S= 4

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Вид	Свойства	Формулы
ABCD – прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые A = B = C= D = 90°	= Диагонали прямоугольника равны.	S = S = – площадь P = 2(a + b) - периметр d₁² = a²+b² где d₁, d₂ – диагонали, а, b – стороны прямоугольника
ABCD – ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны AB = BC = CD = AD	1= 2, 3= 4, Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам	S = S = - площадь Р = 4а – периметр ² + ² = 4a² где d₁, d₂ - диагонали, а – сторона ромба, – угол ромба
ABCD – квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны AB = BC = CD = AD	= Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. A= B= C= D =90°	S = a² – площадь S = S= , где r – радиус вписанной окружности Р = 4а - периметр = а где d₁, d₂ - диагонали, а – сторона квадрата

ТРАПЕЦИЯ

	ABCD - трапеция AD = a, BC = b – основания AB, CD – боковые стороны BH = h - высота AD BC; S= MN – средняя линия трапеции, где М – середина АВ N – середина СD MN BC; MN AD; MN= Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
	Трапеция прямоугольная, если один из углов прямой
	Трапеция равнобедренная, если ее боковые стороны равны
	В равнобедренной трапеции: 1) диагонали равны; 2) углы при основании равны; 3) середины сторон являются вершинами ромба.
	Биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны

ОКРУЖНОСТЬ

Окр. (О; r) т. О – центр окружности OK = OB = OA = r – радиус AB = d – диаметр b – касательная AC – хорда MN - секущая

- дуга окружности d = 2r

- длина окружности

- длина дуги

- дуга окружности

АОВ - центральный угол

АОВ =

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

АСВ – вписанный угол

АСВ =

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.

АСВ =

, если

меньше полуокружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

ПЛОЩАДЬ

Площадь круга	Площадь сектора
S =	S =

СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ

Свойство хорд AB; CD – хорды AB CD = M AM · MB = CM · MD Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Свойство касательной ОМ – радиус а – касательная М – точка касания ОМ а Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

АТ – касательная АВ; АХ – секущие АТ² = АХ · АY АТ² = АВ · АС
AM, AN – касательные M, N – точки касания AM = AN 1 = 2; 3 = 4 Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

	В любой треугольник можно вписать окружность. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. r = - радиус вписанной окружности a, b, c – стороны треугольника S – площадь треугольника
	В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, только если: a + c = b + d, где a, b,c, d- стороны четырехугольника

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около любого треугольника можно описать окружность. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. R =

- радиус описанной окружности a, b, c – стороны треугольника S – площадь треугольника

Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, только если:

A+

С =

В +

D = 180°

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

вычисление угла многоугольника

а_n сторона многоугольника

S = - площадь

n – число сторон

R – радиус описанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Р – периметр

	треугольник	квадрат	шестиугольник
	60°	90°	120°
а
R	R =	R =
r	r = R	r =	r =

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Расстояние между точками	А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂)
Координаты (х; у) середины отрезка АВ с концами А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂)
Общее уравнение прямой, перпендикулярной вектору {a; b}
Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке (х₀; у₀)
Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂), то координаты вектора	{х₂-х₁; у₂-у₁}
Сложение векторов	{а₁; а₂} + {b₁; b₂} = {a₁+ b₁; a₂+ b₂} {а₁; а₂} {b₁; b₂} = {a₁ b₁; a₂ b₂}
Умножение вектора на число
Скалярное произведение векторов: и	∙ = ∙∣ ∣∙ где - угол между векторами и
Скалярное произведение векторов	{а₁; а₂} и {b₁; b₂} ∙ = a₁b₁ + a₂b₂
Косинус угла между векторами: {а₁; а₂} и {b₁; b₂}
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов	{a₁; а₂} {b₁; b₂} ∙ = 0 или a₁b₁ + a₂b₂ = 0

Литература:

1. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся, - М.: Просвещение, 2001- 416 с.

2. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.). – 20-е изд.- М.: Просвещение, 2010.- 384 с.

⇐ Предыдущая 12