5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ……………………………………………………………………. 7 6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ……………………………….. 8

7. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ……. 9

8. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ПРИЗНАКИ

РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ …………………………. 10

9. ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ……………………….……………………………………... 11

10. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ……………………… 12

11. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ ……………………………………… 13

12. ТРАПЕЦИЯ …………………………………………………………………….. 14

13. ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЙ УГОЛ ………………………………………. 15

14. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ ………………………….. 16

15. СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ ………………………………… 17

16. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ……………………………. 18

17. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ……………………………………….. 19

18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ВЕКТОРЫ. ……………….. 20

Справочник по геометрии 7-9

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

Прямые а и b пересечены секущей с

1 и 2; 3 и 4 – накрест лежащие углы

и 8; 3 и 5 - соответственные углы

2 и 7; 4 и 6 - соответственные углы

1 и 3; 2 и 4 - односторонние углы

Признаки параллельности прямых

а║b Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

1 =

а║b Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1 +

а║b Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны. а║b, а║с

с║b а

с║b

Свойства углов при параллельных прямых а║b

1 =

2 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а║b

1 =

8 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. а║b

1 +

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна

НЕКОТОРЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

А а В а

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. а║b А

УГЛЫ

Острый угол меньше прямого угла

CDA<

Тупой угол больше прямого угла

ab <

Прямой угол

hk =

Развернутый угол

AOM =

Смежные углы

Сумма смежных углов рав .

Вертикальные углы

Вертикальные углы равны.

БИССЕКТРИСА УГЛА

с – биссектриса

aс =

сb Луч с делит угол

ab пополам

Свойство биссектрисы АМ = ВМ

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла.

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Треугольник

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

Остроугольный (все углы острые)

все стороны разной длины

две стороны равны

все стороны равны

Прямоугольный (один из углов – прямой)

∠ А= В= =60

Р = 3а, где

а - сторона,

Р- периметр

Тупоугольный (один из углов – тупой)

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

	Сумма углов треугольника равна 180 ̊. ∠ А+ В+ =180 ̊ Свойство внешнего угла: ∠ АСК = ∠ А + В
	Неравенство треугольника а < b+с b < а+с с < а+b Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. а > b - с, где b>с
	Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника b > с В > С и В > С b > с В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против большего угла лежит большая сторона.
Теорема синусов где адиус описанной окружности. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.	Теорема косинусов с² = а² + b² ― 2аb а² = с² + b² ― 2 bс b² = с² + а²― 2 ас Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту к этой стороне:

S = ah

Другие формулы: S =

aс

сb

S =

, где

- полупериметр S =

r , где r- радиус вписанной в треугольник окружности S =

, где R – радиус описанной окружности

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕНННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

А =

АС – основание АВ и ВС – боковые стороны

Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

ВК –биссектриса ВК – медиана ВК –высота

ВК – биссектриса

ВК – медиана

ВК - высота

РАВНЫЕ И ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

, значит, АВ =

СВ =

СА = С₁А₁

А =

А₁

В =

С =

С_1.

подобен

, значит,

А =

А₁

В =

С =

С₁

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По двум сторонам и углу между ними

АВ =

СВ =

В =

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По двум углам

А = В =

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

По стороне и двум прилежащим углам АС=

А =

С =

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По двум сходственным сторонам и углу между ними

А =

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

По трем сторонам

АВ = СВ = АС=

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сходственным сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

АМ – медиана

АВС точка М – середина ВС

Свойство медиан СО:ОР = АО:ОМ = ВО:ОК = 2:1 Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. АМ = m

формула для вычисления медианы

АН – высота

АН - перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую ВС Свойство высот Высоты треугольника пересекаются в одной точке треугольника.

АЕ – биссектриса

2 (

САЕ =

ВАЕ) Свойства биссектрисы треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.