Система двух случайных величин.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Тема 1.3. Системы случайных величин

1. Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения.

2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

3. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства.

4. Зависимость и независимость двух случайных величин.

5. Условные законы распределения.

6. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия.

7. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

8. Двумерное нормальное распределение.

9. Регрессия.

Система двух случайных величин.

Двумерная случайная величина

До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом. Кроме одномерных величин рассматривают также величины, возможные значения которых определяются несколькими числами. Двумерную случайную величину обозначают через (X, У); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Например, при штамповке стальных пластинок их длина и ширина представляют собой двумерную случайную величину.

Определение1. Законом распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют множество возможных пар чисел (х_i ,y_i ) и их вероятностей

p(х_i ,y_i)- Двумерную случайную величину можно трактовать как случайную точку А(Х, Y) на координатной плоскости.

Закон распределения двумерной случайной величины обычно задается в виде таблицы, в строках которой указаны возможные значения х_i случайной величины X, а в столбцах — возможные значения y_i случайной величины Y, на пересечениях строк и столбцов указаны соответствующие вероятности p_ij. Пусть случайная величина X может принимать п значений, а случайная величина Y — т значений. Тогда закон распределения двумерной случайной величины (X.Y) имеет вид

Из этой таблицы можно найти законы распределения каждой из случайных компонент. Например, вероятность того, что случайная величина X примет значение х_к, равна, согласно теореме сложения вероятностей независимых событий,

Иными словами, для нахождения вероятности Р(х_к) нужно просуммировать все т вероятностей по k-му столбцу таблицы (15.21). Аналогично получается вероятность того, что случайная величина Y примет возможное значение получается суммированием всех п вероятностей r-й строки таблицы (15.21) (r = 1,2,..., m). Отсюда следует, что сумма всех вероятностей в законе распределения (15.21) равна единице:

Пример 1. Задано распределение двумерной случайной величины:

Найти распределения X, Y и X + Y.

Решение.В нашем случае возможные значения случайной величины X:

х₁ = 1, x₂ = 2, х₃ = 3. Тогда, согласно формуле (15.22), имеем Р(х₁)= 0,1 + 0,2 = 0,3, Р(х₂) =0,15 +0,22 = = 0,37, Р(х₃) =0,12 +0,21 =0,33. Отсюда получаем закон распределения X:

X 1 2 3

р 0,3 0,37 0,33. М(Х)=1*0,3+2*0,37+3*0,33=2,03 D(X) = М(Х²) - [М(Х)}²

Аналогично получаем и для распределения Y: у₁ = 1, у₂ = 2;

Р(_У1) = 0,1 + 0,15 + 0,12 = 0,37, Р(у₂) = 0,2 + 0,22 + 0,21 = 0,63;

Y 1 2

р 0,37 0,63. М(У)=1*0,37+2*0,63=1,63

Теперь найдем распределение X+Y. Возможные значения этой случайной величины: 2, 3, 4 и 5. Соответствующие вероятности

Р(2) = 0,1, Р(3) = 0,15 + 0,2 = 0,35, Р(4) = 0,12 + 0,22 = 0,34, Р(5) = 0,21. Отсюда находим искомое распределение:

X+Y 2 3 4 5

р 0,1 0,35 0,34 0,21.

В случае системы двух случайных величин используются кроме математических ожиданий и дисперсий еще и другие числовые характеристики, описывающие их взаимосвязь.

12 3 Следующая ⇒