|
|||
Функции y=n√x, их свойства и графикиСтр 1 из 3Следующая ⇒
Функции y=n√x, их свойства и графики Задание построить графики функции y=n√x при четном и нечетном n и описать свойства функции. На данном уроке мы рассмотрим функцию y=(√x)n, её основные свойства, и построим графики. 1. Определение корня n-й степени, существование функций вида Напомним основное определение. Определение: Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a. Например: , т. к. ; , т. к. Из определения следует важный вывод: На множестве значений существует функция при , т. е. при любом натуральном n, не равном единице. Вспомним, что называется функцией. 2. Функция у=х, теорема о симметрии графиков функций Определение: Функцией называется закон соответствия, по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие единственное значение функции у. Рассмотрим исследуемую функцию при : Рис. 1. График функции Очевидно, что представленный график (Рис. 1.) проходит через точки (1;1), (4;2), (9;3) и т. д. Чтобы избавиться от корня, возведем функцию в квадрат, наложив условие на у: Рассмотрим две функции. Первая – при , график ее – это часть параболы. Вторая функция – при , это также часть параболы. Данные ветви парабол симметричны относительно прямой . графики имеют две общие точки: (0;0) и (1;1). На ветви параболы лежат точки с координатами , на ветви параболы – точки с координатами . Эти точки симметричны относительно прямой . Рис. 2. Рис. 2. Графики функций , и Теорема: Точки А(а;b) и В(b,a) симметричны относительно прямой . Доказательство: Рассмотрим чертеж (рисунок 3). Координаты точки А означают, что прямоугольный треугольник имеет катеты а и b. Аналогично треугольник имеет те же самые катеты. Таким образом, рассмотренные треугольники равны, и из их равенства следует равенство углов 1 и 2 и равенство гипотенуз ОА и ОВ. Напомним, что прямая является биссектрисой, отсюда углы и составляют по , таким образом, углы 3 и 4 равны (т. к. равны углы 1 и 2). Отсюда ОН – биссектриса в равнобедренном треугольнике . Биссектриса, как известно, является осью симметрии для всего треугольника, в том числе и для интересующих нас точек А и В. Рис. 3. Чертеж к теореме Доказанная теорема позволяет сделать вывод для любого n: График функции при симметричен графику функции при относительно прямой . Рис. 4. Обобщение теоремы
|
|||
|