Р А З Д Е Л II. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ. Тема 1. Предел функции в точке.. Теорема о пределах. Основные теоремы о пределах

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Р А З Д Е Л II

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ

Тема 1. Предел функции в точке.

Теорема о пределах

Дана функция , ,

;

при условии выполняется условие т.е. – уменьшается – уменьшается.

Определение: Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого существует такое , что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначим ;

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация предела функции

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) функций

равен сумме (разности) их пределов

Например: .

Следствие: функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций

равен произведению их пределов

Например: .

Следствие:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Например: .

2. Предел степени с натуральным показателем равен

той же степени предела.

;

Теорема 3. Предел отношения, равен отношению пределов

при условии, что предел знаменателя отличен от нуля.

1).

Таким образом, для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной подставить значение , к которому она стремиться, и выполнить соответствующие действия, т.е.

2) .

3) Рассмотрим решения пределов, когда предел знаменателя дроби обращается в ноль.

При постановке «2» вместо переменной в числителе и в знаменателе дроби получается ноль. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Чтобы решить предел такого вида нужно числитель и знаменатель разложить на множители.

Чтобы решить предел такого вида необходимо избавиться от неопределенности, для этого числитель и знаменатель умножают на выражение, сопряженное знаменателю, т.е.

5) .

12 Следующая ⇒