РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1.Точка С – середина отрезка AB, а О – произвольная точка на плоскости (рис. 6). Доказать, что .

Доказательство:

По правилу треугольника , . Складывая эти равенства, получаем:

Так как точка С – середина отрезка АВ, то . Таким образом, , или .

2.Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

Дано:

ABCD– трапеция

M– середина AВ

N– середина СD

Рис.15.

Доказать: MN || AD.

Анализ. Для доказательства параллельности достаточно показать, что векторы и коллинеарны

Решение.

1) Согласно рассмотренной задаче 1 .

2) Так как , то и, значит, MN || AD.

3) Так как , то = AD + BC, поэтому

MN = (AD + BC).

3. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m : n, то есть найти точку M принадлежит AB, такую, что AM : MB = m : n.

Рис.3

Решение:

Очевидно, что M принадлежит AB делит отрезок AB в заданном отношении m : n тогда и только тогда, когда Кроме того,

Отсюда

Подставляя в исходное соотношение, имеем

откуда находим

В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам

где и – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем

Таким образом, мы векторным путем получили результаты.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ

4. Дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .

Решение

Пусть , , - медианы треугольника (рис.8). Тогда , , . Сложив эти равенства, получим

Отсюда следует, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .

5. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Рисунок 11

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что коллинеарен

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то

Следовательно,

Но коллинеарен вектору , поэтому Тогда

то есть коллинеарен что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ

6. Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Дано:

ABCDЕ– пятиугольник

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE

P и Q – середины отрезков KM и LN

Доказать PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Решение.

Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3

Аналогично,

Из этих равенств следует, что

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

7. В параллелограмме дано: и ; , ; , . Выразить векторы и через и .

Решение

Пусть - параллелограмм (рис. 12), в котором , , , , , .

Выразим через и . , .

Тогда .

, ,

8. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM:MD=BN:NC== 3:4.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть K₁ – середина AB, K₂ – середина MN, K₃ – середина CD. Согласно соотношению 8 имеем

Из условия следует, что ,

поэтому .

Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K₁, K₂ и K₃ лежат на одной прямой.

9. В трапеции ABCD точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Докажите, что точка О пересечения диагоналей AC и BD лежит на прямой MN.

Доказательство.

Рис.23.

Для того, чтобы доказать, что

достаточно доказать, что

коллинеарны.

Для этого нужно разложить векторы и по базисным векторам.

В качестве базисных векторов возьмём = = . По соотношению 3

Из подобия треугольников BOC и AOD:

Значит k=n, т.е. , ,

, значит .

10. На катетах прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С построены квадраты АСQP и BCRS. Точка М- середина гипотенузы АВ. Доказать, что отрезки СМ и QR перпендикулярны.

Решение.

1). Так как М- середина АВ, то СМ= ½ ∙(СА+СВ).

2). QR=CR-CQ.

3). QR∙CM=½(CA+CB)∙ (CR-CQ)= ½∙(CA∙ CR-CA ∙CQ+CB∙ CR-CB∙CQ).

Так как CA и CQ перпендикулярны, то CA∙CQ=0; аналогично CB ∙CR=0.

Учитывая это, получим: QR∙ CM= ½(CA∙ CR-CB∙ CQ)=

= ½∙(CA∙ CR ∙cos180° – CB∙ CQ ∙cos180°)=½∙ (-CA∙ CR+CB∙ CQ).

А так как CR=CB и CQ=CA, то QR ∙CM= ½∙(CB∙ CA-CA∙ CB)=0.

4). Итак, QR∙ CM=0, поэтому отрезки QR и CM перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

⇐ Предыдущая 12