Простейшие квадратурные формулы численного интегрирования

Простейшие квадратурные формулы численного интегрирования

1. Формула прямоугольников (формула «средних»).

Заменим на i-ом участке интегрируемую функцию постоянной величиной, например, равной ее значению в средней точке (рис. 1):

Рис. 1. К интегрированию по формуле прямоугольников.

, где . (1)

Тогда интеграл на отрезке заменяется площадью прямоугольника, т.е.

, (2)

и вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы

. (3)

Кроме того, часто из практических соображений в качестве в формуле (3) берется , либо . В результате получаем:

(4)

– квадратурная формула «левых» прямоугольников;

(5)

– квадратурная формула «правых» прямоугольников.

Формулы (4) и (5) менее точные, чем (3), но иногда более удобные, например, при численном решении дифференциальных уравнений.

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурные формулы прямоугольников дают точный результат интегрирования для функций, постоянных на i-ом участке ( ). Квадратурная формула «средних» прямоугольников дает точный результат также и для линейных на i-ом отрезке функций. Это утверждение достаточно проверить для простейшей линейной функции .

При точном интегрировании получаем:

а при интегрировании по формуле «средних» прямоугольников

Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.

12 Следующая ⇒