Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 1

Группы 520, 530

Томск

ТУСУР

1. Действия над матрицами.

Задача 1. Найти сумму и разность матриц: +

Решение.Складываем поэлементно:

= .

Вычитаем:

= .

Ответ.Сумма: разность: .

Задача 2. Найти сумму матриц: +

Решение.Складываем поэлементно:

= .

Ответ. .

Задача 3.Даны матрицы , .

Найти и .

Решение.Запишем эти матрицы. Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варианта скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй.

Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак,

= .

Теперь найдём . В данном случае первую матрицу можно разрезать на 3 строки, а вторую на 3 столбца. Таким образом, получаем 9 чисел.

Покажем, например, как 1-я строка скалярно умножается на 1-й столбец, они обведены. .

Ответ. .

Задача 4. Найти произведение матриц:

а) , б) , в) .

Решение.

= = = .

Ответ. , , .

Примечания.

1) Видим, что в общем случае может не выполняться закон коммутативности при умножении матриц, то есть

2) При умножении на матрицу, состоящую из всех единиц, исходная не получается, а вот если единицы по диагонали - получается. Матрица называется единичной матрицей. При этом выполняется .

Задача 5. Дана матрица найти .

Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их.

= =

= . Ответ. .

Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект.

Задача 6. Даны матрицы . Найти .

Решение. = = .

= = .

Ответ. .

Задача 7.Найти произведение матриц .

Решение. Размеры согласованы: длина строки 1-й матрицы равна высоте столбца 2-й матрицы. Первую можно мысленно разрезать на 2 строки, вторую на 3 столбца. Итого будет 6 различных произведений строк на столбцы.

= . Ответ. .

Задача 8. Вычислить и .

Заметим, что получаются 1-й и 2-й столбец матрицы.

= , = .

Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2). Коротко о понятии линейного оператора и строении его матрицы и о том, что при умножении на i-й базисный вектор получается столбец номер i.

Задача 9А. Найти произведение: .

Задача 9Б. .

Решение.В 1-м случае размеры и , согласованы, умножение возможно. Во 2-м случае и , тоже согласованы (хоть столбцов и больше, но всё равно длина строки 1-й матрицы равна высоты столбца 2-й матрицы). Просто в ответе для 3Б получится ещё один лишний столбец справа.

= =

= .

Для пункта «Б» 1-я и 2-я строка умножаются не только на 1-й и 2-й, но ещё и на 3-й столбец. Дополнительно получаем

= = .

Выделим красным цветом новый столбец:

Ответ. 9А: , 9Б: .

Задача 10. Даны матрицы

, , . Найти .

Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных = - тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два.

Сначала запишем .

= = .

Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й.

Есть 4 варианта это сделать:

= = = .

Ответ. .

Задача домашняя 1. Найти произведение .

Ответ. .

Задача дом-2. Найти .

Ответ. , .

Задача дом-3. . Найти .

Ответ. , .

Задача 11. Дана матрица . Найти .

Решение. Сначала умножим две, и найдём .

= = .

Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти .

= = .

Ответ. .

Замечание.Несмотря на то, что в общем случае коммутативности по умножению матриц нет, но если матрица совпадает с матрицей , тогда . Например, в этой задаче, из-за ассоциативности, т.е. неважно, домножить третий раз слева или справа.

Задача дом-4. Найти для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на , либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. .