Рис. 1.4. Конфигурационное пространство системы C из q точечных частиц c координатами p1, p2, …, pq является 3q-мерным

Рис. 1.4. Конфигурационное пространство системы C из q точечных частиц c координатами p1, p2, …, pq является 3q-мерным

Система с d степенями свободы описывается конфигурационным пространством, имеющим d-измерений. Например, если система состоит из q точечных (не имеющих внутренней структуры) частиц c координатами p₁, p₂, …, p_q, то ее конфигурационное пространство будет иметь 3_q-измерений, так как положение каждой отдельной частицы полностью описывается заданием значений трех ее координат, как показано на рис. 1.4. В более сложных ситуациях (например, при наличии у частиц внутренних степеней свободы) мы должны учитывать большее число степеней свободы для каждой частицы, однако это обстоятельство никак не изменяет общую идею метода. Конечно, читателю не стоит напрягаться, воображая или «визуализируя» какое-то многомерное пространство, поскольку принципы подсчета легко понять на примере двумерного пространства (типа листа бумаги) или привычного трехмерного, в котором обычно каждый человек представляет себе происходящие события. Разумеется, сложные физические процессы протекают в пространстве большего числа измерений, о чем рассказывается далее. Кроме того, не стоит забывать, что все такие пространства представляют собой сугубо абстрактные математические понятия, так что читателю нет необходимости связыватьтрехмерное физическое пространство или четырехмерное физическое пространство-время с личными представлениями о них, выработанными в бытовой обстановке.

Помимо всего сказанного, предложенная попытка определения энтропии требует еще одного пояснения, которое нам придется обсудить очень серьезно. Дело в том, что ранее, при рассмотрении числа возможных конфигураций из красных и синих шариков, мы считали, что их число является конечным, хотя и очень большим. Хотя строго говоря, в механике Ньютона мы обязаны рассматривать реально бесконечное число конфигураций (поскольку параметры положения частиц представляют собой не дискретные, а непрерывные величины), и поэтому при рассмотрении многомерных объемов конфигурационного пространства нужно всегда учитывать также размерыячеек, а не ограничиваться простым подсчетом возможного числа дискретных конфигураций.

Обсуждение смысла термина «объем» в многомерном пространстве лучше начать с определения этого понятия для небольшого числа измерений. Например, для участка двумерной кривой поверхности мерой объема может служить площадьповерхности рассматриваемого участка, а в одномерном пространстве в качестве этого объема выступает просто длина рассматриваемого участка кривой. Поэтому в n-мерном конфигурационном пространстве мы должны рассматривать n-мерные аналоги привычных трехмерных объемов.

Главный вопрос состоит в том, объемы каких, собственно, областей конфигурационного пространства нам следует измерять исходя из данного ранее определения энтропии? Согласно предложенной концепции, следует измерять объем областей этого пространства, соответствующих тому набору состояний, который является или выглядит «одинаковым» для рассматриваемой системы. Конечно, фраза «выглядит одинаково» также весьма расплывчата. Реальная проблема состоит в том, что нам необходимо отобрать некий разумный и одновременно достаточно исчерпывающий набор макроскопических параметров. Список переменных должен позволить, с одной стороны, учитывать требуемые физико-химические свойства данного состояния (распределение плотности, цвет, химический состав и т. п.), а с другой — не требовать точного вычисления или знания значений координат для каждого атома, рассматриваемой системы. Именно введение этих параметров и дает возможность выделить в системе участки, которые «выглядят одинаково», и произвести усреднение свойств системы по некоторым достаточно «одинаковым» областям, что получило позднее название крупнозернистого деления (разбиения) конфигурационного пространства C.

При этом каждый крупнозернистый участок пространства C «выглядит одинаково», т. е. описывает те состояния, которые могут рассматриваться как неразличимые при данной точности макроскопических измерений (как показано на рис. 1.5). Таким образом, вводимое деление конфигурационного пространства связано с крупнозернистым характером используемых измерений.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒