АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА. Предисловие

АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА

Посвящается Джону Ломасу,

попросившему меня

написать эту книгу

Предисловие

Я весьма признателен за множество ценных замечаний профессору Ч. Д. Броуду и д‑ру Ч. П. Сноу, каждый из которых прочитал мою первоначальную рукопись. Я включил в текст по существу почти все их предложения, что позволило избежать многочисленных неточностей и неясностей.

Однако был случай, когда мне пришлось поступить иначе. В основу §28 положена короткая заметка, помещённая мной в "Эврике" (журнале Кембриджского архимедова общества) в начале года, и я счёл невозможным переделывать то, что было написано мной так недавно и так тщательно. Если бы я попытался удовлетворить всерьёз этим важным критическим замечаниям, то мне пришлось бы расширить §28 настолько, что это нарушило бы баланс всей моей книги. Поэтому я оставил всё без изменения, но добавил в "Примечании" в конце книге краткое изложение сути главных замечаний, сделанных моими критиками. 18 июля 1940 г. Г. Г. Х.

Писать о математике ‑ печальное занятие для профессионального математика. Математик должен делать что‑то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики. Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают аналогичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного, чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняющим. Изложение чужих результатов, критика, оценка ‑ работа для умов второго сорта.

Помню, что как‑то раз мне довелось обсуждать эту проблему в одной из нескольких серьёзных бесед с Хусманом. В своей лекции памяти Лесли Стифена "Назначение и природа поэзии" Хусман весьма решительно отрицал свою принадлежность к "критикам", но делал это, как мне показалось, в особенно странной форме: он выразил восхищение литературной критикой, что озадачило и шокировало меня.

Он начал с цитаты из своей инаугурационной лекции, прочитанной двадцатью двумя годами раньше. "Не могу утверждать, является ли талант литературного критика лучшим даром Всевышнего, но он, по‑видимому, полагает именно так, ибо талант литературного критика весьма редкий. Ораторы и поэты встречаются редко по сравнению с ягодами чёрной смородины, но чаще, чем возвращения кометы Галлея[[87]]. Литературные критики встречаются ещё реже..."

И далее: "За двадцать два года я усовершенствовался в одних отношениях и ухудшился в других, но усовершенствовался не настолько, чтобы стать литературным критиком, равно как не ухудшился настолько, чтобы вообразить, будто я стал таковым".

Мне показалось плачевным, чтобы выдающийся учёный и замечательный поэт так писал, и оказавшись через несколько недель рядом с ним в холле, я собрался с духом и высказал ему своё мнение. Неужели сказанное им должно быть воспринято всерьёз? Неужели жизнь лучшего из критиков действительно кажется ему сравнимой с жизнью учёного или поэта? Мы обсуждали эти вопросы на протяжении всего обеда, и, как мне кажется, он, наконец, согласился со мной. Не следует думать, будто я провозглашаю диалектический триумф над человеком, который более не может возразить мне... Но под конец нашего разговора его ответом на первый вопрос было: "Возможно, не вполне", а отвечая на второй, он заметил: "Вероятно, нет".

Относительно того, какие чувства испытывал Хусман, могут быть какие‑то сомнения, и я вовсе не утверждаю, будто он полностью перешёл на мою сторону, но зато нет никаких сомнений относительно того, что думают по этому поводу люди науки, и я полностью разделяю их чувства. Но если я теперь сижу и пишу "о" математике, а не занимаюсь собственно математикой, то это ‑ признание в собственной слабости, за которую молодые и более сильные математики с полным основаниям могут презирать или жалеть меня. Я пишу о математике потому, что подобно любому другому математику после шестидесяти, я не обладаю более свежестью ума, энергией и терпением, чтобы успешно выполнять свою непосредственную работу.

Я намереваюсь заняться апологией[[88]] математики. Возможно мне скажут, что в этом нет необходимости, так как ныне существует лишь несколько областей науки, которые по общему признанию (обоснованно или необоснованно) считаются более доходными и почётными. Возможно, это и так. Во всяком случае, вполне вероятно, что со времён сенсационных триумфов Эйнштейна звёздная астрономия и атомная физика ‑ единственные науки, которые оцениваются общественным мнением выше, чем математика. Математику в настоящее время нет необходимости защищать свою профессию. Ему не нужно отвечать на те возражения, которые описаны Брэдли[[89]] в превосходной апологии метафизики, которая служит введением к его книге "Видимость и реальность".

Метафизик, говорит Брэдли, возразит, что "метафизическое знание совершенно невозможно" или что "даже если оно и возможно до какой‑то степени, то практически его нельзя называть знанием". "Те же проблемы, придётся услышать метафизику, те же дискуссии, тот же полный провал. Почему бы не оставить всё это? Разве нет ничего другого, более достойного ваших усилий?" Разумеется, не найдётся ни одного глупца, который бы решился говорить в таком тоне о математике. Большая часть математических истин очевидна и впечатляюща. Она впечатляет. Практические приложения математики, мосты, паровые двигатели и динамо‑машины производят глубокое впечатление на самое заторможенное воображение. Широкую публику не нужно убеждать в том, что математика имеет какой‑то смысл.

Всё это весьма удобно для математиков, но истинный математик вряд ли успокоится на этом. Любой истинный математик должен ощущать, что истинная математика опирается не на указанные выше грубые, осязаемые достижения, и что репутация математики в глазах широкой публики зиждется на незнании и ошибочных представлениях, и что возможна более рациональная защита математики. Как бы то ни было, я намереваюсь предпринять такую попытку. Моя задача представляется мне более простой, чем трудная попытка апологии метафизики, предпринятая Брэдли.

В этой связи я хочу задать вопрос: стоит ли вообще серьёзно изучать математику? Что, собственно, служит оправданием жизни математика? Мои ответы большей частью будут такими, какие следует ожидать от математика: я глубоко убежден, что математикой стоит заниматься, чему существуют многочисленные подтверждения. Но я сразу же должен заявить, что защищая математику, я буду защищать и себя и что моя апология с необходимостью будет в определённой мере эгоистичной. Не думаю, что мне стоит приносить извинения за выбранную мной специальность, даже если я считаю себя неудачником в математике.

Некоторый эгоизм такого рода неизбежен, и я не думаю, что он реально нуждается в оправдании. Хорошая работа делается отнюдь не "скромными" людьми. Одна из важнейших обязанностей профессора, преподающего любой предмет, состоит в том, чтобы немного преувеличить важность своего предмета и своего участия в его развитии. Человек, постоянно задающий вопросы "Стоит ли заниматься тем, что я делаю?" и "Тот ли я человек, который справится с этим делом?" всегда будет неэффективен и к тому же будет расхолаживать других. Он должен слегка прикрыть глаза и думать о своём предмете и самом себе немного лучше, чем они того заслуживают. Сделать это не слишком трудно: труднее не выставить свой предмет и себя на посмешище, зажмурившись слишком плотно.

Человеку, решившему оправдать своё существование и свою деятельность, необходимо различать два несхожих по существу вопроса. Первый вопрос состоит в том, стоит ли заниматься тем, чем он занимается; второй ‑ в том, почему он этим занимается (какова бы ни была ценность того, чем он занимается).

Первый вопрос часто оказывается очень трудным, а ответ на него ‑ обескураживающим, но несмотря на это большинство людей находят второй вопрос достаточно лёгким. Их ответы, если они честны, обычно принимают ту или другую из двух форм, причём вторая форма является всего лишь более скромной вариацией первой, которую нам надлежит рассмотреть серьёзно.

(1) "Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что это единственное что я умею делать хорошо. Я адвокат, биржевой брокер или профессиональный крикетист потому, что обладаю некоторым талантом, позволяющим мне выполнять именно данную конкретную работу. Я адвокат потому, что у меня хорошо подвешен язык и меня интересуют всякого рода юридические тонкости. Я биржевой брокер потому, что могу быстро и точно оценивать ситуацию на рынке ценных бумаг. Я профессиональный крикетист потому, что могу очень хорошо играть в крикет. Я признаю, что быть поэтом или математиком возможно и лучше, но к сожалению не обладаю талантом для занятий поэзией или математикой".

Я отнюдь не утверждаю, будто большинство людей может выдвигать такие аргументы в своё оправдание, так как большинство людей вообще не умеют ничего делать хорошо. Но подобная апологетика становится несокрушимой, если её можно выдвинуть, не впадая при этом в противоречие, как это умеет делать незначительное меньшинство людей: возможно, пять или даже десять процентов людей могут делать что‑то сравнительно неплохо, очень мало людей умеет делать что‑то действительно хорошо, а число тех, кто умеет хорошо делать две вещи, пренебрежимо мало. Если человек обладает настоящим талантом, то ему следует без раздумий идти на почти любые жертвы, чтобы развить свой талант полностью.

Подобную точку зрения разделяет д‑р Джонсон[[90]].

Когда я сказал ему, что мне приходилось видеть, как [его тезка] Джонсон скакал одновременно на трёх лошадях, он ответил: "Такого человека, сэр, следовало бы поощрять, сэр, ибо то, что он делает, показывает пределы человеческих возможностей".

Ясно, что д‑р Джонсон аплодировал бы альпинистам, пловцам, переплывающим Ла‑Манш и шахматистам, играющим вслепую. Со своей стороны я полностью одобряю все попытки такого рода, направленные на замечательные достижения. Я с большой симпатией отношусь даже к фокусникам и чревовещателям, и когда Алехин[[91]] и Брэдмен идут на побитие рекорда, я испытываю глубочайшее разочарование, если они терпят неудачу. В этом и д‑р Джонсон, и я полностью солидарны с широкой публикой. Как очень точно выразился У. Тёрнер[[92]], только "высоколобые" (в негативном смысле) не восхищаются настоящими "большими людьми".

Разумеется, нельзя не учитывать то, что различные виды деятельности имеют различную ценность. Я предпочёл бы быть романистом или художником, чем государственным деятелем того же ранга; существует немало дорог к известности, которые большинство из нас отвергает как совершенно неприемлемые. Однако при выборе человеком карьеры различия в ценности той или иной профессии редко служат опорной шкалой: выбор рода деятельности почти всегда диктуется ограничениями природных способностей человека. Поэзия обладает более высокой ценностью, чем крикет, но Брэдмен был бы последним дураком, если бы пожертвовал крикетом, чтобы стать автором второсортных и незначительных поэтических произведений (я считаю маловероятным, чтобы в области поэзии он был способен на большее). Если бы Брэдмен играл в крикет не столь блестяще, а его успехи в области поэзии были бы более значительными, то выбор мог бы оказаться более затруднительным. Не знаю, кем бы я хотел стать: Виктором Трампе‑ром или Рупертом Бруком. К счастью, такого рода дилеммы возникают очень редко.

Могу добавить, что возникновение таких дилемм перед математиком маловероятно. Различия между мыслительными процессами, протекающими у математиков и других людей, обычно сильно преувеличены, однако нельзя отрицать, что математические способности ‑ талант весьма особого рода и что математики как класс не отличаются ничем особенным от остальных людей ни по части общих способностей, ни быстротой мышления. Если человек в каком‑то смысле настоящий математик, то сто шансов против одного, что в математике он достигнет гораздо большего, чем в другой области, и было бы глупо, если бы он поддался любой обманчивой возможности проявить свой талант для того, чтобы сделать что‑нибудь невыдающееся в других областях. Такую жертву можно было оправдать разве что экономической необходимостью или возрастом.

Мне следует сказать несколько слов по поводу возраста, который особенно важен для математиков. Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем любой другой вид искусства или любая другая наука, ‑ занятие для молодых. Приведу простой пример на сравнительно скромном уровне: средний возраст избранных в Королевское общество самый низкий у математиков.

Разумеется, мы без труда можем привести намного более поразительные примеры. Мы можем рассмотреть хотя бы карьеру человека, который вне всякого сомнения был одним из трёх величайших математиков мира. Ньютон перестал заниматься математикой в возрасте пятидесяти лет и утратил былой энтузиазм задолго до этого. Он, несомненно, осознал к тому времени, когда ему исполнилось сорок лет, что расцвет его творческой деятельности уже миновал. Его величайшие идеи ‑ флюксии[[93]] и закон всемирного тяготения ‑ пришли ему в голову около 1666 года, когда Ньютону было двадцать четыре года. "В ту пору я был в самом расцвете лет, пригодных для изобретения различных новшеств, и размышлял о математике и философии больше, чем когда‑либо впоследствии". Свои большие открытия Ньютон совершил до того, как ему исполнилось сорок лет ("эллиптическая орбита" была открыта в тридцать семь лет), а позднее ему мало что удалось сделать, он лишь полировал и совершенствовал то, что было сделано раньше.

Галуа[[94]] умер в двадцать один год, Абель[[95]] ‑ в двадцать семь лет, Рамануджан ‑ в тридцать три года, Риман[[96]] ‑ в сорок. Были люди, которые сделали выдающиеся работы и в более зрелом возрасте. Замечательная работа Гаусса[[97]] по дифференциальной геометрии была опубликована, когда ему было пятьдесят лет (хотя основные идеи были созданы им десятью годами ранее). Я не знаю ни одного случая, когда крупное математическое открытие было бы сделано человеком в возрасте старше пятидесяти. Если человек в преклонном возрасте утрачивает интерес к математике и перестает заниматься ею, то маловероятно, чтобы утрата была весьма серьёзной для математики или для него самого.

С другой стороны, маловероятно, чтобы польза от этого была особенно существенной. Перечень математиков, переставших заниматься математикой в последнее время, не слишком вдохновляет. Ньютон стал весьма компетентным директором монетного двора (когда он ни с кем не ссорился). Пенлеве[[98]] стал не слишком успешным премьер‑министром Франции. Политическая карьера Лапласа[[99]] была в высшей степени позорной, но его вряд ли можно считать подходящим примером: Лаплас был скорее бесчестен, чем некомпетентен, но никогда в действительности не "бросал" математику. Насколько мне известно, не существует ни одного примера, когда бы математик самого высокого ранга прекратил заниматься математикой и достиг столь же высоких отличий в любой другой области. Возможно, было несколько молодых людей, которые могли бы стать первоклассными математиками, если бы они занимались математикой, но мне никогда не приходилось слышать ни об одном правдоподобном примере. Кроме того, всё это полностью согласуется с моим собственным весьма ограниченным опытом. Любой молодой математик, обладающий реальным талантом, которого мне приходилось знать, был искренне предан математике, и не из‑за отсутствия амбиций, а от избытка их. Все эти молодые люди отчётливо сознавали, что именно в математике они могут добиться признания, если такое вообще возможно.

Существует также то, что я бы назвал "более скромной вариацией" стандартной апологии, но от неё можно отделаться буквально в несколько слов.

(2) "Нет ничего, что я мог бы делать особенно хорошо. Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что мне пришлось этим заниматься. В действительности мне никогда не представлялась возможность заняться чем‑нибудь другим". Эту апологию я также воспринимаю как убедительную. Абсолютная истина состоит в том, что большинство людей ничего не может делать хорошо. Коль скоро это так, то не имеет особого значения, какую карьеру они выбирают, и говорить об этом больше нечего. Это вполне убедительный ответ, но его вряд ли даст человек, обладающий хотя бы в какой‑то степени гордостью, и я могу предположить, что ни один из нас не согласился бы с таким ответом.

Настало время поразмыслить над первым вопросом, который я поставил в §3, ‑ вопросом, гораздо более трудным, чем второй. Стоит ли заниматься математикой (тем, что я и другие математики подразумеваем под математикой), и если стоит, то почему? Я перечитываю первые страницы своей инаугурационной лекции, с которой выступил в Оксфорде в 1920 году. По существу в ней кратко изложено основное содержание апологии математики. Изложение чрезмерно сжато (оно занимает менее двух страниц) и выдержано в стиле, который мне сейчас не особенно нравится (мне кажется, что это первый опус, написанный, как мне тогда казалось, в "оксфордской манере"). И поныне я склонен думать, что несмотря на дальнейшее развитие, моя инаугурационная лекция всё же содержала основные идеи апологии математики. Напомню, что я тогда сказал в качестве предисловия к более подробному обсуждению.

(1) Я начал с того, что подчеркнул безвредность занятия математикой ‑ изучение математики если и бесполезно, то во всяком случае совершенно безвредно и невинно". Я придерживаюсь этого мнения, хотя оно явно нуждается в более развёрнутом изложении и пояснениях.

Бесполезна ли математика? В определённом смысле, если сказать просто, конечно, небесполезна; например, она доставляет огромное удовольствие весьма большому числу людей. Однако я использовал слово "полезный" в более узком смысле ‑ "полезна" ли математика, приносит ли она прямую пользу, как другие науки, такие, как химия и физиология? Вопрос этот не из лёгких и не бесспорный, и я отвечу на него самым решительным "Нет", хотя некоторые математики (и большинство посторонних), несомненно, ответили бы "Да". "Безвредна" ли математика? И на этот вопрос ответ далеко не очевиден, а сам вопрос принадлежит к числу таких, на которые я предпочёл бы не отвечать, поскольку он вплотную затрагивает проблему влияния науки на эффективность ведения войны. Безвредна ли математика в том смысле, в котором, например, заведомо не безвредна химия? К двум названным выше вопросам я ещё вернусь в дальнейшем.

(2) Далее в своей инаугурационной лекции я сказал: "Масштабы Вселенной грандиозны, и если мы понапрасну тратим время, то напрасно прожитые жизни нескольких университетских донов[[100]] ‑ не такая уж вселенская катастрофа". Дойдя до этого места, я, возможно, принял или попытался изобразить позу преувеличенного смирения, от которого только что отрёкся. Убеждён, что в действительности я имел в виду нечто другое, пытаясь высказать одной фразой то, что гораздо подробнее было изложено в §3. Я имел в виду, что мы, преподаватели, действительно обладаем нашими небольшими талантами, и мы вряд ли заблуждаемся, изо всех сил пытаясь полностью развить их.

(3) Наконец (в выражениях, которые ныне кажутся мне болезненно риторическими), я подчеркнул непреходящий характер математических достижений:

"То, что мы делаем, может быть, мало, но оно, несомненно, обладает непреходящим характером, а создать что‑нибудь, представляющее хотя бы в малейшей степени не проходящий интерес, будь то образчик стихов или геометрическая теорема, означает создание чего‑то такого, что целиком находится за пределами возможностей подавляющего большинства людей".

И далее:

"В дни конфликта между научными достижениями древности и современности следует сказать кое‑что о науке, которая не началась с Пифагора и не закончится на Эйнштейне, а является самой старой и одновременно самой молодой из всех наук".

Всё это ‑ "риторика", но суть сказанного представляется мне и поныне верной, и я могу изложить все затронутые мной идеи подробно, не вдаваясь в предварительное обсуждение любого из других вопросов, которые я оставлю открытыми.

Я исхожу из предположения, что пишу для читателей, которые преисполнены или были преисполнены в прошлом надлежащим духом амбиций. Первейшая обязанность человека, во всяком случае, молодого человека, состоит в том, чтобы быть амбициозным. Амбиция ‑ благородная страсть, которая на вполне законном основании может принимать многие формы. Нечто благородное было в амбициях Аттилы[[101]] или Наполеона[[102]], но самые благородные амбиции движут теми, кто оставляет после себя нечто, имеющее непреходящую ценность.

"Что здесь, на уровне песка,

Меж сушею и морем,

Воздвигнуть мне иль написать

Пред тем, как ночь наступит?

Поведай мне о рунах, чтоб их я начертал,

Они помогут волн сдержать напор,

Иль о бастионах, чтобы их воздвиг я

На срок подолее того, что мне отпущен".

Амбиции были движущей силой почти всех лучших творений этого мира. В частности, практически все существенные вклады в человеческое счастье были сделаны амбициозными людьми. Приведем два знаменитых примера: разве Листер[[103]] и Пастер[[104]] не были амбициозными людьми? Или, на более скромном уровне, Кинг Жиллетт и Уильям Уиллетт? Кто в последнее время в большей степени способствовал человеческому счастью, чем они?

Особенно хорошие примеры можно почерпнуть из физиологии, просто потому, что она принадлежит к числу заведомо "полезных" наук. Мы должны уберечься от ошибки, обычно совершаемой апологетами науки, ‑ ошибки, которой подвержен, например, профессор А.В.Хилл. Согласно этой ошибке, принято считать, будто те люди, которые в наибольшей степени способствовали процветанию человечества, много думали о своей высокой миссии во время своей работы, короче говоря, будто физиологи обладают особенно возвышенными душами. Физиолог действительно был бы рад вспомнить о том, что его работа облагодетельствует человечество, но мотивы, дающие ему силу и вдохновенье для его свершений, неотличимы от мотивов классического учёного‑гуманитария или математика.

Существует множество весьма респектабельных мотивов, которые могут побудить людей проводить исследования, но три мотива гораздо важнее всех остальных. Первый мотив (без которого всё остальное обратилось бы в ничего) ‑ интеллектуальное любопытство, жажда познать истину. Второй мотив ‑ профессиональная гордость, беспокойство, которое можно унять, только свершив задуманное, стыд, охватывающий любого уважающего себя мастера, когда его творение недостойно его таланта. Наконец, третий мотив ‑ амбиция, жажда заслужить репутацию и добиться положения, даже власти или денег, которые приносит с собой положение. Возможно, приятно ощущать, что ты сделал "свою работу", добавил радости или умерил страдание других, но это не является мотивом, побудившим тебя сделать твою работу. Поэтому если математик, химик или даже физиолог скажет мне, что движущей силой в его работе было желание облагодетельствовать человечество, то я не поверю этим словам (равным образом не стану думать о том, кто их произнесет лучше, если даже поверю). В действительности он руководствовался теми мотивами, которые я привёл выше, и в них нет ничего такого, чего следовало бы стыдиться любому достойному человеку.

Если интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция ‑ доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, ни у кого нет лучших шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований ‑ прелюбопытнейший; нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы самые причудливые штуки. Математика обладает разработанным до тончайших деталей увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя ценность, обладает наибольшей "долговечностью" по сравнению с достижениями всех других наук.

Мы можем убедиться в этом даже на примере полуисторических цивилизаций. Вавилонская и ассирийская цивилизации пали; Хаммурапи[[105]], Саргон[[106]] и Навуходоносор[[107]] ‑ ныне пустые имена, тем не менее вавилонская математика и поныне представляет интерес, а вавилонская шестидесятеричная система счисления всё ещё применяется в астрономии. Но самым убедительным примером служит, конечно, Древняя Греция.

Древние греки были первыми математиками, чьи результаты актуальны для нас и поныне. Математика Древнего Востока может быть интересна для любознательных, но древнегреческая математика ‑ "вещь" вполне реальная. Древние греки впервые заговорили на языке, который понятен современному математику. Как сказал мне однажды Литлвуд, древние греки ‑ не умные школьники и не "кандидаты на стипендию" за отличные успехи, а "ученые из другого колледжа". Поэтому древнегреческая математика сохранила "непреходящее" значение ‑ более непреходящее, чем даже древнегреческая литература. Архимеда[[108]] будут помнить, даже когда забудут Эсхила[[109]] потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, "бессмертны" ‑ глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.

Математику нет необходимости всерьёз опасаться, что будущее будет несправедливо по отношению к нему. Бессмертие часто бывает смешным или жестоким: лишь немногим из нас суждено стать Огом, Ананией или Галилеем[[110]]. Даже в математике история иногда выкидывает странные трюки: Ролль[[111]] фигурирует во всех учебниках математического анализа, как если бы он был математиком того же ранга, как и Ньютон; Фарей обрел бессмертие потому, что не понял теорему, которую Харос строго доказал четырнадцатью годами раньше; имена пяти состоятельных норвежцев вошли в биографию Абеля только из‑за акта сознательного слабоумия, исполненного с сознанием выполненного долга за счёт их величайшего соотечественника. Но в целом история науки вполне справедлива, и это особенно верно в отношении математики. Ни одна другая наука не обладает столь чёткими или единодушно принятыми стандартами, и люди, о которых хранят память математики, почти всегда заслуживают этого. Математическая слава, если вы сможете получить её, одна из самых прочных и долговечных.

Всё это весьма приятно для донов и особенно для профессоров математики. Иногда юристы, политики или бизнесмены высказывают предположение о том, что академическая карьера привлекает главным образом осторожных и неамбициозных людей, более всего заботящихся о собственном комфорте и безопасности. Такое мнение полностью неосновательно. Дон отказывается кое от чего, в частности, от шансов зарабатывать большие суммы денег; например, профессору очень трудно заработать в год 2000 фунтов стерлингов. Прочность положения, естественно, служит одним из соображений, облегчающих отказ от перспективы финансового процветания. Но Хусман отказался бы стать лордом Саймоном[[112]] или лордом Бивербруком[[113]] не по этой причине. Он бы отверг их карьеры из‑за своих амбиций: ему бы претила мысль, что через какие‑нибудь двадцать лет его забудут.

Но как больно сознавать, что при всех преимуществах академической карьеры вы не застрахованы от неудачи. Помню, как Бертран Рассел рассказывал мне о своём страшном сне. Ему снится, что он находится на верхнем этаже университетской библиотеки в году эдак 2100‑м. Помощник библиотекаря обходит книжные полки с огромной корзиной. Он берет с полки одну за другой книги, смотрит их названия и либо ставит обратно на полку, либо швыряет в корзину. Наконец, очередь доходит до трёхтомного издания, в котором Рассел узнает последний сохранившийся экземпляр "Principia Mathematica"[[114]]. Он снимает с полки один из томов, перелистывает несколько страниц, явно озадаченный странными символами, захлопывает том, прикидывает его на руке и останавливается в нерешительности...

Математик, подобно художнику или поэту, создаёт образы. Если его "образы" долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Художник создаёт свои образы из форм и цветов, поэт ‑ из слов. Изображение может воплощать "идею", но эта идея находится на уровне обычного здравого смысла и малосущественна. В поэзии идеи значат гораздо больше, но, как настаивает Хусман, важность идей в поэзии обычно преувеличивают: "Я не могу согласиться с тем, что существует нечто, именуемое поэтическими идеями... Поэзия ‑ это не то, что сказано, а то, как сказано".

"Бушующего моря вод не хватит, чтоб смыть помазанье с чела владыки‑короля".

Какие строки! Но могут ли выраженные в них идеи быть более банальными и более фальшивыми? Мы видим, что скудность идей вряд ли влияет на красоту словесного узора. С другой стороны, у математика нет другого материала для работы, кроме идей, из‑за чего создаваемые им образы с большей вероятностью будут существовать, так как идеи изнашиваются со временем меньше, чем слова.

Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике. В этой связи я не могу не упомянуть одно всё ещё широко распространенное заблуждение (хотя, возможно, что ныне оно распространено далеко не так широко, как двадцать лет назад). Я имею в виду то, что Уайтхед назвал "литературным предрассудком": любовь к математике и эстетическая оценка её есть "мономания, охватывающая в каждом поколении лишь несколько эксцентриков".

Трудно было бы в наше время найти образованного человека, совершенно нечувствительного к эстетической привлекательности математики. Возможно, определить математическую красоту очень трудно, но то же самое можно сказать и о красоте любого рода: мы не знаем с абсолютной точностью, что подразумеваем под красивой поэмой, но это не мешает нам распознать её при чтении. Даже профессор Хогбен, который любой ценой стремится минимизировать значимость эстетического элемента в математике, не отваживается отрицать его реальность. "Разумеется, найдутся индивиды, для которых математика обладает холодной отстраненной привлекательностью... Эстетическая привлекательность математики для немногих избранных может быть вполне реальной". Но он предполагает, что их "немного" и их чувства холодны (это действительно очень смешные люди, которые живут в дурацких маленьких университетских городках, за стенами которых они укрываются от свежих ветров, дующих на широких открытых пространствах). В этом профессор Хогбен лишь вторит "литературному предрассудку" Уайтхеда.

А факт состоит в том, что существует мало предметов, более "популярных", чем математика. Большинство людей способны получать удовольствие от математики так же, как большинство людей обладают способностью наслаждаться приятной мелодией. И наверно, большинство людей в действительности больше интересуются математикой, чем музыкой. На первый взгляд картина может показаться иной, но этому легко найти объяснения. Музыку можно использовать для того, чтобы стимулировать массовые эмоции, ‑ математика для этого не подходит; отсутствие музыкальных способностей воспринимается (вне всякого сомнения правильно) как нечто умеренно порочащее данное лицо, в то время как большинство людей настолько боятся самого названия математики, что они готовы совершенно искренне преувеличивать свою неспособность к математике.

Не требуется глубоких размышлений, чтобы понять абсурдность "литературного предрассудка". В любой цивилизованной стране имеется огромная масса любителей шахмат ‑ в России в шахматы играет почти всё образованное население; и почти каждый любитель шахмат может распознать и оценить "красивую" шахматную партию или задачу. Однако шахматная задача ‑ это просто упражнение по чистой математике (шахматная партия ‑ не вполне, так как психология также играет роль), и каждый, кто называет шахматную задачу "красивой", аплодирует математической красоте, даже если речь идёт о красоте сравнительно низкого рода. Шахматные задачи ‑ это хвалебные песнопения в честь математики.

Тот же урок на более низком уровне, но для более широкой публики мы можем извлечь из игры в бридж или, если спуститься ещё ниже, из тех колонок массовых газет, в которых публикуются головоломки. Почти вся необычная популярность этих игр и развлечений ‑ дань притягательной силе рудиментарной математики, и лучшие составители головоломок, такие, как Дьюдени или "Калибан", практически не используют ничего, кроме самой элементарной математики. Они знают своё дело: всё, что нужно широкой публике, это небольшая интеллектуальная "встряска", а ничто не может сравниться с той встряской, которую даёт интеллекту математика.

Я мог бы добавить, что ничто в мире не доставляет большего удовольствия даже весьма известным людям (в том числе и тем из них, кто позволял себе пренебрежительные высказывания о математике), чем открытие или переоткрытие настоящей математической теоремы. Герберт Спенсер[[115]] опубликовал в своей автобиографии переоткрытую им теорему об окружностях, которую он доказал, когда ему было двадцать лет (не зная, что она была доказана Платоном более чем двумя тысячами лет раньше). Более свежий и более поразительный пример ‑ профессор Содди (но его теорема действительно принадлежит ему).

Шахматная задача ‑ настоящая математика, но в каком‑то смысле это "тривиальная" математика. Сколь бы изысканными и тонкими, оригинальными и удивительными ни были ходы, нечто существенное всё же отсутствует. Шахматные задачи неважные. Лучшая математика серьёзна и красива ‑ если угодно, "важна", но это слово многозначно, и слово "серьёзна" лучше выражает то, что я хочу сказать.

Я не имею в виду "практические" следствия математики. К этому вопросу мне ещё придётся вернуться в дальнейшем, а пока скажу лишь, что если шахматная задача, грубо говоря, "бесполезна", то о лучшей математике большей частью можно сказать то же самое, и лишь очень малая толика математики практически полезна, и что эта малая часть математики сравнительно неинтересна. "Серьёзность" математической теоремы кроется не в практических следствиях из неё, (обычно они ничтожны), а в значимости математических идей, между которыми теорема устанавливает взаимосвязь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что математическая идея "значительна", если её можно естественно и просто связать с широким комплексом других математических идей. Таким образом, серьёзная математическая теорема, теорема, которая связывает значительные идеи, весьма вероятно приводит к существенным продвижениям в самой математике и даже в других науках. Ни одна шахматная задача не оказала влияния на общее развитие научной мысли; Пифагор[[116]], Ньютон, Эйнштейн, каждый в своё время, изменили направление научной мысли.

Разумеется, серьёзность теоремы не в её следствиях; следствия лишь свидетельствуют о её серьёзности. Шекспир оказал огромное влияние на развитие английского языка, Отуэй не оказал почти никакого влияния, но Шекспир был лучшим поэтом по иной причине. Он был лучшим поэтом потому, что его поэзия была намного лучше. Незначительность шахматной задачи, подобн

⇐ Предыдущая 12