Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Стр 1 из 3Следующая ⇒


 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
-первообразная функция для функции , если . - неопределенный интеграл от функции .  Свойства неопределенного интеграла 1°. . 2°. .    3°. . 4°. .   5°. . 6°. . Простейшие неопределенные интегралы вычисляются с помощью свойств и таблицы (см. ниже).
Замена переменной Цель замены – свести интеграл к табличному. Формула замены переменной: если , то . Иногда удобнее подбирать замену переменной в виде .
Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям:     (1) 1. Формулу (1)  удобно применять для интегралов вида: А) , где – многочлен n–й степени. При этом: , . Б) , где  – дробно-рациональная функция. При этом: , . В) и др. 2.Иногда формулу (1)  необходимо применять несколько (в случае А – п; в случае В – р) раз. 3. В ряде случаев (сл. В) применение формулы (1)  приводит к решению линейного уравнения.
Правильные и неправильные рациональные дроби. Выделение целой части  - рациональная дробь: правильная, если ;неправильная, если . Если , то , где - целая часть(многочлен), - правильная часть(правильная рациональная дробь).Данное представление может быть получено делением многочленов «уголком».
Типы простейших рациональных дробей: I. ;           II. ;                III. ;    IV. , где . Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей. При этом каждому множителю знаменателя вида  соответствует сумма простейших дробей I и II типов; а каждому множителю знаменателя вида , где , соответствует сумма  простейших дробей III и IV типов.
Интегрирование рациональных дробей Перед интегрированием рациональной дроби необходимо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1. неправильную рациональную дробь необходимо представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби; 2. разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители; 3. правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби и вычислить неопределенные коэффициенты (методом неопределенных коэффициентов или методом подстановки корней) 1)  Интегралы от  простейших дробей I и II типовявляются табличными интегралами: I. ;    II. . 2) Интеграл от простейшей дроби III типаприводится к табличным интегралам с помощью замены . Или можно выделить полный квадрат в знаменателе:  и сделать подстановку .
Интегрирование тригонометрических выражений 1) Интегралы , где  и  – целые числа можно вычислить следующим образом: а) если  – нечетное положительное число, то применяется замена ; б) если  – нечетное положительное число, то делается замена ; в) если  и  – четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул: , , . г) если  и  – четные числа, причем хотя бы одно отрицательно, то применяется замена  ( ); при этом . 2) Интегралы вычисляются с помощью формул: , , . 3) Интегралы вида , где R – рациональная функциявычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки . После такой замены интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.
Интегрирование иррациональных функций 1)Интегралы вида  и , где  – рациональная функция, вычисляются заменой  или , где . В частности: ; ; ; ; . 2) Интегралы вида , где  – рациональная функция, вычисляются заменами: а) интеграл  – замена: ; б) интеграл  – замена: ; в) интеграл  – замена: .

123Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.