Численное интегрирование. Пример

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Численное интегрирование

Пример

Даны значения функции в заданных точках:

f(-2)=11; f(-1)=1; f(0)=1; f(1)=5; f(2)=31

Требуется найти определенный интеграл этой функции на отрезке [-2; 2] с помощью:

а) интерполяции полиномом;

б) формулы трапеций;

в) формулы Симпсона.

Ход решения

1. Находим интерполяционный полином, проходящий через заданные точки и принимающий заданные значения:

j(x)=x⁴+x³+x²+x+1

Находим определенный интеграл этого полинома на отрезке [-2; 2]:

2. На каждом отрезке [x_i_-1; x_i] имеем трапецию T_i, заданную условиями f(x_i_-1)=y_i_-1 и f(x_i)=y_i, площадь которой вычисляется по формуле S_i=(y_i+y_i_-1)(x_i–x_i_-1)/2.

Формула трапеций:

На отрезке [-2; -1] имеем трапецию T₁, заданную условиями f(-2)=11 и f(-1)=1, площадь которой равна S₁=(11+1)(-1–(-2))/2=6.

На отрезке [-1; 0] имеем трапецию T₂, заданную условиями f(-1)=1 и f(0)=1, площадь которой равна S₂=(1+1)/2=1.

На отрезке [0; 1] имеем трапецию T₃, заданную условиями f(0)=1 и f(1)=5, площадь которой равна S₃=(5+1)/2=3.

На отрезке [1; 2] имеем трапецию T₄, заданную условиями f(1)=5 и f(2)=31, площадь которой равна S₄=(31+5)/2=18.

По формуле трапеций: S₁+S₂+S₃+S₄=6+1+3+18=28.

3. Находим интерполяционный полином j₁(x)=a₁x²+b₁x+c₁, проходящий через три точки, заданные условиями: f(-2)=11, f(-1)=1 и f(0)=1.

Находим определенный интеграл интерполяционного полинома j₁(x)=5x²+5x+1 на отрезке [-2; 0]:

Находим интерполяционный полином j₂(x)=a₂x²+b₂x+c₂, проходящий через три точки, заданные условиями: f(0)=1, f(1)=5 и f(2)=31.

Находим определенный интеграл интерполяционного полинома j₂(x)=11x²-7x+1 на отрезке [0; 2]:

По формуле Симпсона: .

12 Следующая ⇒