Лекция 22. Методы интегрирования.
Лекция 22. Методы интегрирования.
22.1. Метод замены переменных.
Основную роль в интегральном исчислении играет метод замены переменной (или метод подстановки):
. (22.1)
Предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения t, а – непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси x.
Докажем (22.1):
.
Следовательно, если ввести подстановку , то получится первообразная от функции . Две первообразные отличаются на некоторую постоянную C. (22.1) доказана. ■
Формулу (22.1) перепишем в удобном виде:
. (22.1а)
J Пример 22.1.
1) .
2)

.
3) а) .
б) .
в) 
(доказательство формулы 8 таблицы интегралов лекции 21).
г) 
(доказательство формулы 12 таблицы интегралов лекции 21).
4) а) При .
б) При , ,
.
в) При , ,
. (22.2)
г) .
д) При 

,
где последний интеграл вычисляется по (22.2). J
J Пример 22.2. Вычислить заменой переменных интегралы
1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,
6) , 7) , 8) , 9) ,
10) , 11) , 12) , 13) . J
22.2. Метод интегрирования по частям.
♦ Теорема 22.1 (формула интегрирования по частям). Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда
. (22.3)
Доказательство. Имеем , следовательно и после интегрирования получаем: . Окончательно:
.
Постоянную C обычно опускают, так как в правой части формулы интегрирования по частям стоит неопределённый интеграл. ■
Интеграл может оказаться более простым, чем . Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на 3 группы:
1) , , , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо за принять (обратную тригонометрическую функцию или логарифм) и положить .
2) , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо принять , . Необходимо применить интегрирование по частям m раз.
3) , . Здесь необходимо применить двукратное интегрирование по частям, после чего искомый интеграл выражается сам через себя и находится из получающегося линейного уравнения 1‑го порядка.
J Пример 22.3.1) .
2) .
3) 
,
откуда . J
J Пример 22.4. 1)

.
2) , – алгебраический многочлен. Применяем n-кратное интегрирование по частям. Так как характер первообразной легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять методом неопределённых коэффициентов.
Например, для первообразная имеет вид:
, где .
Коэффициенты находим из условия
.
3) ; ,
, .
|