Лекция 22. Методы интегрирования.

Лекция 22. Методы интегрирования.

22.1. Метод замены переменных.

Основную роль в интегральном исчислении играет метод замены переменной (или метод подстановки):

. (22.1)

Предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения t, а – непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси x.

Докажем (22.1):

.

Следовательно, если ввести подстановку , то получится первообразная от функции . Две первообразные отличаются на некоторую постоянную C. (22.1) доказана. ■

Формулу (22.1) перепишем в удобном виде:

. (22.1а)

J Пример 22.1.

1) .

3) а) .

б) .

в)

(доказательство формулы 8 таблицы интегралов лекции 21).

г)

(доказательство формулы 12 таблицы интегралов лекции 21).

4) а) При .

б) При , ,

в) При , ,

. (22.2)

г) .

д) При

где последний интеграл вычисляется по (22.2). J

J Пример 22.2. Вычислить заменой переменных интегралы

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) , 13) . J

22.2. Метод интегрирования по частям.

♦ Теорема 22.1 (формула интегрирования по частям). Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда

. (22.3)

Доказательство. Имеем , следовательно и после интегрирования получаем: . Окончательно:

Постоянную C обычно опускают, так как в правой части формулы интегрирования по частям стоит неопределённый интеграл. ■

Интеграл может оказаться более простым, чем . Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на 3 группы:

1) , , , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо за принять (обратную тригонометрическую функцию или логарифм) и положить .

2) , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо принять , . Необходимо применить интегрирование по частям m раз.

3) , . Здесь необходимо применить двукратное интегрирование по частям, после чего искомый интеграл выражается сам через себя и находится из получающегося линейного уравнения 1‑го порядка.

J Пример 22.3.1) .

2) .

откуда . J

J Пример 22.4. 1)

2) , – алгебраический многочлен. Применяем n-кратное интегрирование по частям. Так как характер первообразной легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять методом неопределённых коэффициентов.

Например, для первообразная имеет вид:

, где .

Коэффициенты находим из условия

.

3) ; ,

, .

12 Следующая ⇒