Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Лекция 16. Основные методы интегрирования.

§70 Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

· Для нечётных степеней sinx или cosx применимо правило:

Правило 1:

Для вычисления интегралов вида:

(n – целое положительное число) применим метод замены переменной – ввести вспомогательную функцию sinx в первом случае и cosx – во втором случае.

или, что то же самое применить метод внесения под знак дифференциала – выделим множитель cosx в первом случае и sinx – во втором случае и его внесём под знак дифференциала:

Пример 1:

метод прямой замены переменной:

Пример 2:

метод внесения под знак дифференциала:

· Для чётных степеней sinx или cosx применимо правило:

Правило 2:

Для вычисления интегралов вида:

(n – целое положительное число) применим метод понижения степени по формулам:

Пример 3:

Пример 4:

· Для произведений степеней sinx и cosx, в которых по крайней мере одна из степеней нечётна применимо правило:

Правило 3:

Для вычисления интегралов вида:

где по крайней мере одно из чисел m, n – нечётное, применим метод замены переменной – ввести вспомогательную функцию sinx, если n – нечётно и cosx, если m – нечётно.

или, что то же самое применить метод внесения под знак дифференциала, а именно, выделим множитель cosx, если m – нечётное и sinx, если n – нечётное и его внесём под знак дифференциала.

Пример 5: