Задача С2

Задача С2

Плоская ферма, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точках А и В, причём в одной из них шарнирно-неподвижно, а в другой опирается на подвижный шарнир (рис. 0 – 9). К ферме приложена наклонная сила , для которой модуль и угол указаны в таблице С2, горизонтальная сила и вертикальная ; в расчётах принять Q = 5 кН, Р = 20 кН, a=3 м.

Определить опорные реакции в точках А и В, усилия в стержнях 1, 2, 3, 4 методом вырезания узлов, а в стержнях 5, 6, 7 – методом сквозных сечений (Риттера).

Указания.Задача С2 – на расчёт плоской фермы, который сводится к определению опорных реакций и усилий в её стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики из 3-х уравнений равновесия, рассматривая ферму в целом как твёрдое тело.

При определении усилий в стержнях методом вырезания узлов мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы, реакции самих стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу: , . Условно предполагают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений получен ответ со знаком минус, то это значит, что соответствующий стержень сжат. Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия, т.е. двух.

Методом Риттера удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчётов. Для определения усилия в каком-нибудь стержне ферму рассекают на две части сечением, проходящем через три стержня, в том числе и через тот, в котором определяется усилие. Одну из частей вместе с приложенными к ней силами мысленно отбрасывают, а её действие заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней в сторону отброшенной части. Затем составляют уравнения моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно точки пересечения двух рассечённых стержней, усилия в которых на данном этапе не определяются. Эта точка пересечения называется точкой Риттера. Если точка Риттера находится в бесконечности, т.е. стержни параллельны, то составляют уравнение суммы проекций сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.

Пример С2.Схема фермы, все действующие нагрузки и размеры показаны на рис. С2.1.

Дано: Р=10 кН, F=30 кН.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов, 5 – 7 – методом сквозных сечений.

Рис. С2.1

Решение.При определении опорных реакций ферма рассматривается как твёрдое тело. Опоры в узлах А и В мысленно отбрасываются и заменяются соответствующими реакциями: составляющие в узле А, в узле В (рис. С2.2).

Рис. С2.2

Составляются три уравнения равновесия:

Из первого уравнения Х_А=5 кН, из третьего кН, из второго кН; знак «–» показывает, что истинное направление противоположно изображённому на рис. С2.2.

Проверка:

При определении усилий в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов сначала мысленно вырезается узел D (в нём сходятся два стержня, усилия в которых неизвестны), и изображаются все приложенные к нему силы и реакции (рис. С2.3).

Рис. С2.3 Рис. С2.4

По геометрическим размерам фермы (рис. С.2.5) , следовательно, , . Уравнения равновесия имеют вид

кН.

Затем вырезается узел А (рис. С2.4), здесь неизвестны усилия ;

кН.

При определении усилий в стержнях 5 – 7 методом Риттера ферма рассекается по этим трём стержням на две части. Одна из частей вместе с приложенными к ней нагрузками мысленно отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется усилиями , которые направлены вдоль соответствующих стержней в сторону отброшенной части (рис. С2.5).

Для определения составляется уравнение моментов от сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно точки пересечения двух остальных разрезанных стержней (точка L).

кН.

Рис. С2.5

Для определения составляется уравнение моментов относительно точки N.

кН.

При определении составляется уравнение моментов относительно точки Е.

кН.

Результат согласуется с леммой 2 о нулевых стержнях [1, §12], что является дополнительной проверкой результатов счёта.

Ответ:кН; кН; кН; S₁ = 4 кН; S₂ = –10,77 кН; S₃ = 13,1 кН; S₄ = –12,61 кН; S₅ = 12,19 кН; S₆ = –23,58 кН; S₇ = –12,61 кН. Знаки указывают, что сила направлена противоположно показанному на рис. С2.2, стержни 2,4,6,7 – сжаты, 1,3,5 – растянуты.

Таблица С2

Номер условия	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
F, кН	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	30	45	60	120	135	150	45	150	60	135

Задача С3

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображённой на соответствующем варианту задания рисунке (рис. 0 – 9), с учётом геометрических данных табл. С3.

Указания. Задача относится к теме: определение положения центра тяжести плоских фигур. В решении необходимо применить способ разбиения, при котором плоская фигура разбивается на простейшие части (прямоугольник, треугольник, полукруг), для которых положение центра тяжести известно:

для прямоугольника (квадрата) – на пересечении диагоналей;

для прямоугольного треугольника – в точке пересечения отрезков, проведённых на расстоянии 1/3 длины соответствующего катета ему перпендикулярно от вершины прямого угла;

для полукруга – на оси симметрии полукруга на расстоянии от центра соответствующего круга.

Координаты центра тяжести плоской фигуры определяются по формулам

где – координаты центра тяжести простейшей части фигуры, – её площадь, – суммарная площадь.

Для фигур, имеющих вырезы в виде простейших частей, применяется частный случай способа разбиений – способ дополнения (метод отрицательных площадей).

Пример С3.Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображённой на рис. С3 при следующих данных: а=40 см, b=100 см, r=20 см.

Решение. Фигура разбивается на три простейшие части: прямоугольник, треугольник, полукруг, площади которых соответственно равны

см², см², см².

Площадь всей фигуры

см².

Рис. С3

Центры тяжестей рассматриваемых частей фигуры имеют следующие координаты:

для прямоугольника х₁=30 см, y₁=20 см;

для треугольника х₂=60+40/3=73,3 см, y₂=40/3=13,3 см;

для полукруга х₃=40 см, y₃=40-4·20/(3·π)=31,5 см.

Координаты центра тяжести фигуры в целом вычисляются по формулам

см;

см.

Ответ: x_C = 41 см, y_C = 15,1 см.

Таблица С3

Номер условия	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a, см	20	30	40	50	60	70	60	50	40	30
b, см	70	60	50	40	30	20	30	40	50	60
r, см	90	80	70	60	50	40	30	20	10	50

⇐ Предыдущая 12