СТРУНА ИЛИ СТЕРЖЕНЬ. Начальные условия. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

СТРУНА ИЛИ СТЕРЖЕНЬ

Граничные условия
	x=0	x=l
Конец стержня свободен	U_x(0,t)=0	U_x(l,t)=0
Конец стержня закреплён жёстко.	U(0,t)=0	U(l,t)=0
Конец стержня закреплён упруго (во втором законе ньютона появляется ±αU(x,t))	U_x(0,t)- hU(0,t)=0 h=α/KS	U_x(0,t)+hU(0,t)=0 h=α/KS
На конец стержня с момента времени t=0 действует сила F_0.	U_x(l,t)=F₀/KS	U_x(0,t)=-F₀/KS
Конец стержня двигается по заданному закону	U(0,t)=f(x)	U(l,t)=g(x)

Начальные условия

Начальные скорости и смещения отсутствуют

U(x,0)=0; U_t(x,0)=0

Начальные условия произвольны

U(x,0)=f(x); U_t(x,0)=F(x)

На конец стержня до момента времени t=0 действует сила F_0.

U(x,0)=F₀/KS

В начальный момент времени концу сообщается продольный ударный импульс I.

U(x,0)=Iδ(x-x₀)/ρ

Краткое уравнение колебаний струны: a²U_xx=U_tt, a²=T/ρ, стержня a²U_xx=U_tt, a²=K/ρ Полное уравнение колебаний струны: ρ(x)U_tt=∂/∂x[T(x)U_x(x,t)]+f(x,t), где: U(x,t) – смещение натяжения струны в направлении перпендикулярном х. ρ(x) – линейная плотность струны. T(x) – сила натяжения струны в точке с абсциссой х. f(x,t) – плотность внешних сил рассчитанных на единицу длины. стержня: ρ(x)S(x)U_tt=∂/∂x[K(x)S(x)U_x]+f(x,t). где: U(x,t) – смещение вдоль оси х поперечного сечения, абсцисса которого в равновесном состоянии равна х. ρ(x) – плотность стержня. f(x,t) – плотность равнодействующих внешних сил. S(x) – площадь поперечного сечения с абсциссой х K(x) – модуль упругости.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Граничные условия
	x=0	x=l
На конец стержня подаётся заданный тепловой поток.	U_x(0,t)=-q₁(t)/KS	U_x(l,t)=q₂(t)/KS
На конце стержня происходит конвективный теплообмен по закону ньютона со средой температуры U₁	U_x(o,t)=h₂(U(0,t)-U₁(t)) h₂₌α₂/K	U_x(l,t)=-h₃(U(l,t)-U₁(t)) h=α₃/K
Конец стержня теплоизолированный.	U_x(o,t)=0	U_x(l,t)=0
Конец стержня поддерживается при заданной температуре.	U(0,t)=f(t)	U(l,t)=g(t)

12 Следующая ⇒