Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания.

Пусть НСВ (непрерывная случайная величина) Х принимает значения из некоторого промежутка . 

Значения  и , в зависимости от конкретных условий, могут быть различными, а сам промежуток   может быть конечным (например, [–1,2]), полубесконечным (например, (- ,0] или [3, )) или бесконечным . Подразумевается, что .

Все значения, попадающие на , невозможно перечислить,

 поэтому невозможно и указать, какие вероятности им соответствуют.

Чтобы охарактеризовать распределение вероятностей в этом случае, поступают так. На  выделяют участок от  до  и находят отношение вероятности попадания на этот участок  к длине участка:

                                           .

 представляет собой среднюю вероятность, приходящуюся на единицу измерения Х, вычисленную на участке .

По аналогии с плотностью (массой, приходящейся на единицу объема) она может быть названа средней плотностью вероятности. Средняя плотность вероятности зависит и от положения точки , и от длины участка . Чтобы исключить влияние , его стараются взять как можно меньшим, т. е. находят предел:

.

Функция  называется плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности).

Она должна удовлетворять следующему требованию:

.

График функции плотности вероятности называется кривой распределения.

Как и для ДСВ, вводится понятие функции распределения: .

Между функциями  и  имеется тесная связь:

;

.

ü Итак, плотность вероятности  является производной от функции распределения  и, наоборот,

ü функция распределения  является первообразной для плотности вероятности,  ее можно найти по формуле:

.

 В связи с этим,

 называют иногда дифференциальной функцией распределения,

 а  — интегральной.

Свойства функции для НСВ аналогичны свойствам функции распределения для ДСВ.

С помощью  функции распределения можно найти вероятность попадания значений случайной величины  на промежуток :

.

7.5. Числовые характеристики НСВ

Числовые характеристики для НСВ те же самые, что и для ДСВ, и аналогичны им по смыслу, однако вычисляются несколько иначе.

1) Математическим ожиданием  НСВ называется значение, определяемое следующей формулой:     .

2) Модой  НСВ называется значение Х, соответствующее максимуму функции . Если максимум один, то распределение называется унимодальным, если максимумов несколько, то полимодальным. Например, при двух максимумах распределение называется бимодальным.

3) Медианой  НСВ называется ее значение, для которого выполняется условие: .

 4) Дисперсией  непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от М(Х), вычисляемое по формуле

.

 Как и в случае с ДСВ, дисперсия может быть вычислена по более простой формуле:

             .

5) Среднеквадратическое отклонение  НСВ равно корню квадратному из дисперсии:    .

6) Вариацией или коэффициентом вариации  НСВ называется

отношение: .

Пример 2. Точку бросают наугад внутрь круга радиуса . Охарактеризовать случайную величину  – расстояние от точки до центра круга.

Решение. Очевидно, что  может принимать любые значения в промежутке . Чтобы найти вид функции , составим соответствующий предел.

Изменению значений  от  до  соответствует попадание точки внутрь кольца, ограниченного окружностями с радиусами  и . Вероятность попадания на этот участок  согласно геометрическому определению вероятности равна отношению площади этого участка к площади всего круга:

.

                Тогда .

Полученной формулой для плотности вероятности можно пользоваться, если . Для остальных значений аргумента она равна 0. Окончательно:

или

Найдём вид функции распределения, пользуясь формулой  и учитывая, что функция плотности вероятности имеет различный вид на разных промежутках: а) , .

б) , .

в) , .

Окончательно:

Графики обеих функций представлены на рисунке 2.

.

                                                     .

                                   Рис.2

Математическое ожидание   

Моды у данной случайной величины нет, т.к. у функции  нет максимума.

Из условия  находим медиану .

Вычислим дисперсию: .

Среднеквадратическое отклонение ,  вариация   .   

Пример 3. Дана функция распределения  НСВ Х:

Решение. Используем связь функции плотности вероятности с функцией распределения вероятностей:     .

На рисунках представлены графики:

функции распределения вероятностей      и плотности вероятностей .

********************************************************************************