Лекция 7.Случайные величины. Числовые характеристики

Таблица, в которой представлены значения  случайной величины  и соответствующие им вероятности  (т. е. вероятности того, что  примет значение, равное ), называется рядом распределения. Если в таблице учтены все возможные значения , то должно выполняться условие

                                              .

Информация о распределении, представленная на графике точками с координатами ( ) и соединяющей их ломаной, называется многоугольником (полигоном) распределения.

Вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее , называется функцией распределения , т. е. .

Для ДСВ .

Пример 1. Батарея состоит из 3 орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого орудия  = 0,5; для второго  = 0,6; для третьего —  = 0,8. Все орудия делают по одному выстрелу.

Охарактеризовать случайную величину Х — число попаданий в цель.

 (Примечание. Характеристика дискретной случайной величины  Х изпримера 1 будет проводиться в п.п. 7.2 и 7.3, поэтому целесообразно для этой задачи отвести полный разворот тетради и заполнять его по мере описания всех характеристик.)

     Решение.

Очевидно, что величина Х может принять одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3.

Рассмотрим 4 случая:

 = 0, если ни одно орудие не попадет;

 = 1, если попадет одно орудие (либо первое, либо второе, либо третье);

 = 2, если попадут два орудия: либо первое и второе, либо первое и третье, либо второе и третье;

 = 3, если попадут все три орудия.

Найдём вероятности событий в каждом случае:

    Сделаем проверку: .

Выпишем ряд распределения в виде таблицы:

	0,04	0,26	0,46	0,24

Полигон (многоугольник) распределения  представлен на рисунке 1, где на координатной плоскости нанесены точки с координатами  по оси Х и  по оси У. Для наглядности эти точки соединены отрезками прямых. 

 Функция распределения представлена таблицей и графиком, рис.1.

Мы знаем, что функцией распределения  называется , т. е. вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее .

Для того, чтобы составить функцию распределения, всю числовую ось разбивают на промежутки значениями случайной величины. Из каждого промежутка берут произвольное значение аргумента и находят значение функции распределения, пользуясь её определением.

Для х ≤0 =0, т.к. значений х<0 эта величина не имеет;              

если 0<х ≤1, =0,04, т.к. для таких х меньшим является одно значение х=0, вероятность которого 0,04;

если 1<х ≤2, =0,04+0,26=0,3, это вероятность, с которой ДСВ Х принимает значения, меньшие 2, т.е. 0 или 1;

если 2 <х ≤3, =0,3+0,46=0,76, это вероятность всех значений, меньших 3, т.е. 0, 1 или 2;

если х>3, = 0,76+ 0,24=1, т.к. все возможные значения Х не больше 3-х.

		0,04	0,3	0,76

 Рис.1.

Обратите внимание: т.к. при х ≤0 =0, то график при этих х совпадает с отрицательной полупрямой оси Х; график при х, больших 3, представляет собой луч, параллельный оси Х с выколотым началом в точке (3,1);участки графика на полуинтервалах , , - горизонтальные отрезки с выколотыми левыми концами и включёнными правыми.

Данный пример иллюстрирует следующие

свойства функции распределения ДСВ (которые можно легко доказать, учитывая, что вероятность любого события заключена в пределах от 0 до 1).

1)  – ступенчатая разрывная функция;

2)  – неубывающая функция (т. е. либо возрастает, либо постоянна);

3) = 0, для всех , где – наименьшее из всех значений ;

4) = 1, для всех , где  – наибольшее из всех значений .

 Приведенные характеристики дают полное и ясное представление о случайной величине. Однако, в случае, когда ДСВ имеет много значений (десятки, сотни и т. д.) они будут очень громоздкими и требуют много места.

Кроме того, во многих практических задачах вовсе нет необходимости так подробно описывать случайную величину.

7.3. Числовые характеристики ДСВ

Числовые характеристики служат для краткого описания ДСВ

и делятся на две группы:

характеристики положения и характеристики разброса.

 

К характеристикам положения относятся математическое ожидание, мода и медиана случайной величины.

Дадим их определения:

1) Математическим ожиданием  дискретной случайной величины  называется значение, определяемое следующей формулой:

                     .

Математическое ожидание представляет собой средневзвешенное всех значений Х (“весами” служат вероятности отдельных значений) и характеризует порядок величины (десятые, сотые, целые числа, десятки, сотни и т. д.).

                                      .

 

 

Найдём математическое ожидание  случайной величины Х из разобранного в данном разделе примера 1.

Используем ряд распределения в виде таблицы:

	0,04	0,26	0,46	0,24

                 .

 

2) Модой  случайной величины называется ее значение, имеющее наибольшую вероятность.  В нашем примере = 2.

 

3) Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется следующее условие:

                                        

Т.е., медиана — такое значение случайной величины, для которого функция распределения равна 0.5.  (В нашем примере медианы нет.)

 

 

Рассмотрим теперь характеристики разброса.

К характеристикам  разброса относятся дисперсия,среднеквадратическое отклонение и вариация.    

Необходимость их введения можно пояснить на примере.

Пусть заданы две случайные величины  и .

	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
	– 10
	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2

По данным из таблицы найдем математическое ожидание

,

.

Видно, что при одной и той же величине математического ожидания, отдельные значения  отличаются от  гораздо меньше, чем отдельные значения  от . Числовые характеристики, определения которых сейчас будут даны, учитывают эту разницу в поведении случайных величин.

 

1) Дисперсией  случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от своего математического ожидания.

(Термин «дисперсия» означает рассеяние.)

 

Для ДСВ дисперсия вычисляется по формуле:

                                .

Преобразование этой формулы позволяет привести ее к более удобному виду:

Используя аналогию с  можно обозначить .

Тогда .