Определение. Сочетаниями из m элементов по n в каждом (n ) называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.. Размещения

Определение. Сочетаниями из m элементов по n в каждом (n ) называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Каждое отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Обозначение:

Найти значение:

1) 2) 3)

Задача 4

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего детали считаются различными– даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

способами можно взять 4 детали из ящика.

Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Задача 5. Покупатель из имеющихся в питомнике 10 саженцев хочет выбрать 2. Сколькими способами он может это сделать?

Решение. Пусть х - число всевозможных пар саженцев, выбираемых из 10 имеющихся. Если бы в выбираемой паре был важен порядок расположения саженцев, то таких пар было бы в 2 раза больше числа х, т.е. 2х. Но число упорядоченных пар из любых элементов, выбираемых из 10 имеющихся различных элементов, равно . Ответ: 45 способами.

При решении этой задачи из 10 саженцев были образованы пары – соединения по 2 саженца, которые отличались друг от друга только составом.

4. Размещения

Задача 6. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?

Решение. Перебором убедимся в том, что из четырех цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 12 двузначных чисел, удовлетворяющих условию:

12, 13, 14,

21, 23, 24,

31, 32, 34,

41, 42, 43.

В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных четырех цифр, а втором – любая из трех оставшихся. По правилу произведения .

Ответ 12.

Из четырех данных элементов (цифр 1, 2, 3, 4) были образованы всевозможные соединения по два элемента в каждом, причем любые два соединения отличались либо составом элементов (например, 12 и 24), либо порядком их расположения (например, 12 и 21). Такие соединения называются размещениями.

Задача 7 А сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать сделать это можно способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов. Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒