Главная Контакты Случайная статья Автоматизация Антропология Археология Архитектура Биология Ботаника Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Деревообработка Журналистика Зоология Изобретательство Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Косметика Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Материаловедение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыка Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Полиграфия Политология Право Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Электротехника Энергетика
	S-eg<s<S+eg  или S(1-qg)< s< S(1+qg), причем если qg< 1, то 0< s< S(1+qg). Стр 1 из 2Следующая ⇒     1. Задания для выполнения расчетно-графической работы.   ЗАДАНИЕ 1 Для заданной выборки Хк={х1, х2, …., хn} из наблюдений за случайной величиной Хк , где n– объем выборки, к – номер варианта данных в предлагаемой к выполнению РГР, выполнить следующие операции: 1.1. Придумать случайную величину из определенной предметной области, которая может быть наблюдаема заданной выборкой. 1.2. Построить выборочный ряд и полигон частот ni и полигон относительных частот wj =nj/n. 1.3. Вычислить выборочное среднее Хср, выборочную дисперсию DВ, выборочное среднеквадратическое отклонение sВ. Вычислить исправленную дисперсию DУТ и выборочный стандарт S.   ЗАДАНИЕ 2 Полагая, что наблюдаемая случайная величина Хк имеет нормальное распределение, выполнить следующее: 2.1. Для заданного уровня надежности g построить доверительные интервалы для точечных оценок математического ожидания а*=Хср  и среднеквадратического отклонения s*=S. 2.2. Проверить гипотезы о значении параметров нормального распределения а=1,2Хср; s=0,8S  при уровне значимостиa1 .   ЗАДАНИЕ 3 3.1.Построить гистограмму частот njи относительных частот wj=nj/n , j=1,…,m, где m – число групп наблюдаемых значений.   Данные выборки для величин ХК, где к номер варианта РГР к=
x1		0,6	2,9		21,2
x2		4,5	3,1		32,6		11,6
x3			2,95		44,4		10,7
x4		-5,6	3,1		64,4		11,6		-2
x5			3,9		39,5		17,2		8,4
x6		-3,5	3,1		32,1		11,6
x7			3,35		31,7		13,22
x8		3,3	3,3		30,2		12,9
x9		11,3	3,27		33,5		10,7		15,4
x10		12,2	3,8		22,7		16,4		-3
x11		22,3	3,7		21,2		15,7		12,3
x12		20,7	3,9		20,4		17,2		20,1
x13		12,3	2,6		15,7		8,7
x14		-6,7	4,1		36,6		9,3		13,6
x15			2,85		48,7		10,12		-1,4
x16		8,5	2,78		36,5		9,7		14,1
x17		-0,8	4,1		42,8		18,8
x18		24,5	2,67		38,1		9,3		-20
x19		11,5	4,4		35,4		21,4		-11
x20		-4,6	2,8				9,8		-5,6
x21		5,3	4,35		34,2				2,2
x22		14,3	3,7		33,8		15,7
x23		15,4	2,54		64,5		8,5
x24		9,7	3,7		40,5		15,7
x25		-3,7	2,95				10,6
x26		-0,5	2,9				10,4		0,3
x27		9,9	3,2				12,2
x28		21,3	3,5				14,3		14,8
x29		3,7	2,7				9,2		8,6
x30		10,7	2,65						3,4
g	0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
a1	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05

Данные выборки для величин Х_К, где к номер варианта РГР

Данные выборки для величин Х_К, где к номер варианта РГР

Конец формы

2. Пример выполнения расчетно-графической работы

Пусть задана выборка

    X_B ={2;5;7;1;12; 5;9;6;8;6; 8;6;2;3;7; 6;8;3;8; 12; 6;7;3;9;4; 7;6;8;11;6}

 объема n=30, полученная при наблюдении за случайной величиной Х (признак выборки). Заданы так же надежность g=0,95 для построения доверительных интервалов оценок параметров распределения случайной величиной Х, уровень значимости a₁=0,05 для проверки статистических гипотез.

    Задание 1

    1.1. Наблюдаемая выборка может представлять собой стаж работы по специальности сотрудников строительного предприятия.

1.2. Построим вариационный ряд выборки, исключив из нее повторяющиеся варианты x_j и подсчитав их частоты n_j.Получим так жеи относительные частоты w_j =n_j/n. Результат приведен в таблице 2, а на рис. 2 построен полигон частот для заданной выборки

                                                                                      Таблица 2

Рис.2.

1.3. Подсчитаем выборочные параметры.

Выборочное среднее , =6,367.

Выборочную дисперсию  ,  =7,499.

Выборочное среднеквадратическое отклонение , 2,738.

Уточненную выборочную дисперсию  = =7,758.

Выборочный стандарт  =2,785.

    Задание 2

Величины Х_ср, D_ут, Sслучайные и являются точечными оценками математического ожидания М[X] дисперсии D[X] и среднеквадратического отклонения s= наблюдаемой в выборке случайной величины Х.

2.1. Предполагая, что наблюдаемая величина Х имеет нормальное распределение, построим доверительные интервалы для математического ожидания a=М[X] и среднеквадратического отклонения s= при уровне надежности g=0,95.

Поскольку известно, что величина t=(Х_ср-а) /Sимеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы, то решая уравнение Р( | t |<t_g )=g относительно t_g можно построить симметричный интервал Х_В -e_g <а<Х_В +e_g, в котором с вероятностью g находится математическое ожидание а. Величина e_g=t_gS/ представляет собой точность оценки. Решение t_g=t(g,n-1) есть обращенное распределение Стьюдента, оно протабулировано и может быть найдено и таблиц, например из [1,2 приложение 3].

    В рассматриваемом примере t_g =t(0,95;29)=2,045 , e_g = 2,045*2,758/ =1,03 и тогда доверительный интервал для математического ожидания будет 6,367 -1,03< a < 6,367+1,03 или 5,337< a < 7,397.

    Для нахождения доверительного интервала оценки среднеквадратического отклонения s воспользуемся тем, что величина c= S/s имеет распределение «Хи» с n-1 степенью свободы. Задавшись надежностью интервальной оценки g и решая уравнение P( | s - S| <e_g )= g относительно e_g можно построить доверительный интервал. Переходя к эквивалентному уравнению , где q_g =e_g/S, найдем его решение q_g =q(g,n-1) из таблиц, например [1,2 приложение 4], тогда точность оценки e_g=q_g S. Доверительный интервал строится таким образом:

S-eg<s<S+eg  или S(1-qg)< s< S(1+qg), причем если qg< 1, то 0< s< S(1+qg).

В нашем примере q_g =q(0,95,29)=0,28 тогда e_g=0,28*2,785=0,78 и доверительный интервал будет следующий 

2,785-0,78 < s < 2,785+0,78 или       2,005< s< 3,561.

В нем оцениваемый параметр s находится с вероятностью g=0,95 .

2.2. Отметим, что построенные доверительные интервалы являются областями принятия гипотезН₀={а=Х_ср}и Н₀={s=S}при их проверке с уровнем значимости a=1-g.Теперь проверим гипотезу о равенстве математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины указанным в задании гипотетическим значениям s=0,8S, а=1,2Х_ср.

Проверим сначала гипотезу о том, что истинная дисперсия наблюдаемой величины равна s=0,8S, т.е. Н₀={s=0,8*2,785=2,228}. Зададимся уровнем значимости гипотезы a₁=0,05и альтернативными гипотезами Н₁ ={s ¹2,228} илиН₂ ={s>2,228}. Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием «Хи-квадрат»  К=(n-1)(S/s)².

 Наблюдаемое значение критерия k_набл=(30-1) (2,785/2,228)²=45,313. Критическая область К_кр при альтернативной гипотезе Н₁   двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц k_кр.л = c²_кр(1-0.025; 29) =16,047, k_кр.п= c²_кр(0.025; 29) =45,722. Видим, что k_набл  не принадлежит критической области и значит, гипотеза принимается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического незначительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу Н₂,поскольку s <Sзначительно (20%), то при этом критическая область будет правосторонней, а критическую точку k_кр= c²_кр(0.05; 29) =42,557найдем из таблиц. Тогда наблюдаемое значение критерия k_набл =45,313 попадает в критическую область и проверяемая гипотеза отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался разным, в итоге гипотеза отвергается.

Проверим теперь гипотезу о том, что истинное математическое ожидание наблюдаемой величины равна а=1,2Х_ср, т.е. Н₀={а=1,2*6,367=7,64}. Зададимся уровнем значимости гипотезы a₁=0,05и альтернативными гипотезами Н₁ ={а ¹7,64} илиН₂ ={а<7,64}. Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием Стьюдента  К=(Х_ср-а) /S.

 Наблюдаемое значение критерия k_набл=(6,367-7,64) /2,785=-2,504. Критическая область К_кр при альтернативной гипотезе Н₁   двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц k_кр.л= -Т_кр(0.025; 29) = -2,045, k_кр.п=Т_кр(0.025; 29) =2,045. Видим, что k_набл   принадлежит критической области и значит, гипотеза отвергается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического значительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу Н₂,поскольку а>Х_срзначительно (20%), то критическая область левосторонняя, а критическая точка

k_кр= -Т_кр(0.05, 29)=-1,699,тогда наблюдаемое значение критерия k_набл=-2,504 попадает в критическую область и проверяемая гипотеза опять отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался одинаковым, в итоге гипотеза отвергается.