ЛЕКЦИЯ 1. (2 часа).. Основные понятия математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Точечные и интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 1. (2 часа).

Основные понятия математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Точечные и интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Математическая дисциплина, которая изучает и создает методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений или экспериментов с целью выявления статических закономерностей, служащих основой для принятия научно обоснованных выводов и решений, называется математической статистикой. Математическая статистика использует вероятные модели, тем самым оказывает влияние на развитие теории вероятностей.

Пусть имеется некоторое множество, совокупность однородных объектов, называемое статистической совокупностью. Кроме того, заданы некоторые количественные и качественные признаки (их обозначают буквами X,Y,Z,…), которые характеризуют эту совокупность. Так, партия однородных деталей может иметь количественным признаком размер детали, а качественным признаком может быть ее стандартность.

Для обследования объектов такой совокупности может использоваться метод сплошных наблюдений, при котором каждый объект обследуется относительно количественного и качественного признаков. Однако, во многих случаях (из-за большого числа объектов, больших затрат, уничтожения объекта) методом сплошного обследования воспользоваться невозможно. В этих случаях применяется выборочный метод – метод статистического обследования, при котором из совокупности случайным образом извлекают ограниченное число объектов, а затем подвергают их изучению относительного и качественного признаков. Выборкой, или выборочной совокупностью, называется совокупность случайно выбранных объектов для непосредственного обследования, а совокупность, из которой произведена эта выборка, называется генеральной совокупностью. Если случайно выбранный объект генеральной совокупности обследуется и не возвращается в генеральную совокупность, то полученная таким образом выборка называется бесповторной. Если же выбранный объект исследуется и возвращается вновь в генеральную совокупность, то имеет место повторная выборка. Если генеральная совокупность достаточно велика, то, предварительно разбив ее части, составляют выборочную совокупность из объектов, отобранных в каждой части.

Основное требование, предъявляемое к выборочной совокупности – это ее репрезентативность, то есть любой объект генеральной совокупности должен иметь одинаковую возможность попасть в выборочную совокупность. Для этого в математической статистике существуют специальные приемы построения выборочной совокупности, которые обеспечивают ее репрезентативность. К выборочной совокупности могут предъявляться и другие требования.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности объема N извлечена выборка n объема n (n < N). Наблюдаемые значения количественного признака X называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, составит упорядоченную выборку, которая называется вариационным рядом. Разность между наибольшим и наименьшим значениями вариационного ряда называется размахом ряда. В вариационном ряде может оказаться k наблюдаемых значений количественного признака X, причем они встречаются n_i раз. Число называется частотой. Отсюда . Статистическим распределением выборки называют последовательность пар вариационного ряда. Обычно статистическое распределение выборки записывается в виде таблицы. Первая строка таблицы содержит варианты , а вторая – их частоты . Вторая строка статистического распределения выборки может содержать относительные частоты . Для непрерывного признака X статистическое распределение выборки также записывают в виде таблицы. Первая строка, которой содержит частичные интервалы, а вторая – сумму частот , попавших в каждый частичный интервал.

Полигоном частот дискретного признака X называют ломаную линию с вершинами в точках Полигоном относительных частот дискретного признака X называют ломаную линию с вершинами в точках . Гистограммой частот (относительных частот) непрерывного признака X называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h (сумма частичных интервалов составляет весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака), а высоты равны отношению - плотности частот ( - плотности относительных частот). Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

Полигон и гистограмма служат графическим, наглядным представлением выборочной совокупности, откуда можно получить различные числовые характеристики выборки.

Пусть - статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения генеральной совокупности.

Несмещенной называют статистическую оценку , такую, что при любом объеме n выборки. Смещенной называют статистическую оценку , для которой равенство не соблюдено, то есть . Статистическая оценка может также удовлетворять требованиям эффективности и состоятельности.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности. Если все значения признака X генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения имеют соответственно частоты , причем , то

Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя , которая находится по формуле

если все значения признака X выборочной совокупности объема n различны. Если же значения имеют соответственно частоты причем , то

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадрата отклонения значения признака X генеральной совокупности от генеральной средней .

Если все значения признака X генеральной совокупности объема N различны, то

Если значения имеют соответственно частоты , то

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется

Смещеннойоценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется корень квадратный из выборочной дисперсии

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр. Обычно надежность γ принимают равной 0,95; 0,99; 0,999, то есть близкой к единице.

Интервальной оценкой (с заданной надежностью γ) математического ожидания, а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическим отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

где – точность оценки, n – объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t)такое, что Ф(t)=γ / 2, которое находят в таблице значений функции Лапласа;

при неизвестном среднем квадратическим отклонении σ (и объеме выборки n<30) доверительный интервал, где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Значение находят в таблице значений по заданным значениям γ и n.

Можно построить доверительные интервалы и для других параметров различных распределений генеральной и выборочной совокупностей.

Вопросы для самостоятельной подготовки по лекции 1.

1. Что изучает математическая статистика?

2. Виды графического изображения статистического распределения выборки.

3. Мода и медиана вариационного ряда.

4. Какие оценки используются для параметров генеральной совокупности по её выборке?

5. Что означают доверительные интервалы для параметров нормального распределения?

12 Следующая ⇒