Контакты

Случайная статья

Формула Стокса

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода устанавливается формулой Стокса.

Теорема. Если функции X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка во всех точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула:

где L–граница поверхности S, интегрируемая в положительном направления.

Доказательство: Пусть z=f(x,y) уравнение поверхности S правильной в направлении оси Oz функции , и непрерывны в замкнутой области (проекции поверхности S на плоскость xOy), – граница область D.

Рассмотрим интеграл

т.к. значение функции X(x,y,z) на L равны значениям X(x,y,z(x,y)) на , то применим формулу Остроградского – Грина.

Преобразуем полученный двойной интеграл в интеграл по поверхности II рода.

Так как выбрана верхняя сторона поверхности, то , а направляющиеся косинусы пропорциональны соответствующим координатам (проекциям) вектора нормали

Тогда

Следовательно

Аналогично получим

Сложив полученные равенства почленно, мы получим формулу Стокса.

Замечание:

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются равенства:

то криволинейный интеграл по замкнутой пространственной кривой L равен нулю

Пример. Вычислить , где L: окружность ,

1. Рассмотрим в качестве поверхности натянутой на контур полусферу , нормаль внешняя.

2.

Для удобства вычислений перейдем к полярной системе координат:

⇐ Предыдущая 12

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.