![]()
|
|||||||
Формула Стокса ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Формула Стокса Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода устанавливается формулой Стокса. Теорема. Если функции X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка во всех точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула:
Доказательство: Пусть z=f(x,y) уравнение поверхности S правильной в направлении оси Oz функции Рассмотрим интеграл т.к. значение функции X(x,y,z) на L равны значениям X(x,y,z(x,y)) на Преобразуем полученный двойной интеграл в интеграл по поверхности II рода. Так как выбрана верхняя сторона поверхности, то Тогда Следовательно Аналогично получим
Сложив полученные равенства почленно, мы получим формулу Стокса. Замечание: Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются равенства: то криволинейный интеграл по замкнутой пространственной кривой L равен нулю
1. Рассмотрим в качестве поверхности натянутой на контур полусферу 2. Для удобства вычислений перейдем к полярной системе координат:
|
|||||||
|