Медиана, биссектриса и высота треугольника

Геометрия. 7-б класс. 25.05.2020.7-а класс. 26.05.2020.
Тема урока: Повторение. Равнобедренный треугольник.

Это занятие поможет учащимся провести итоговое повторение изученного в курсе геометрии 7 класса материала. В частности, они вспомнят три признака равенства треугольников, также определение равнобедренного треугольника и его свойства.

Введение

Давайте повторим признаки равенства треугольников.

Два треугольника называются равными, если соответственно равны их стороны и углы (см. рис. 1).

Рис. 1. Равные треугольники

Против равных сторон лежат равные углы и наоборот (см. рис. 1).

Равенство треугольников предусматривает равенство шести элементов. Но эти элементы – стороны и углы – не являются независимыми друг от друга.

Первый признак равенства треугольников

Дан треугольник , сторону убрали. Получили , и мы видим, что эту сторону можно всегда восстановить. Значит, три элемента – две стороны и угол между ними – полностью определяют этот треугольник.

Признак равенства 1: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеем один треугольник и второй треугольник . И пусть у них сторона , сторона и , то (см. рис. 2).

Рис. 2. Первый признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 3).

Рис. 3. Второй признак равенства треугольников

Пусть у нас есть два треугольника и . Пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно, чтобы утверждать, что .

То есть это признак по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 4).

Рис. 4. Третий признак равенства треугольников

Пусть имеем треугольник и треугольник . И пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно для того, чтобы .

Итак, мы повторили три признака равенства треугольников. Заметим, что из равенства треугольников следует равенство всех соответственных элементов (биссектрис, медиан, высот).

Далее рассмотрим равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник

Определение: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

Пусть имеем треугольник , в котором . Вот такой треугольник называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием.

Теорема 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Имеем равнобедренный треугольник (см. рис. 6).

Дано: .

Доказать: .

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Доказательство: рассмотрим и . (по первому признаку равенства треугольников) по двум сторонам и углу между ними. Против равных сторон лежат равные углы. Значит, . Что и требовалось доказать (см. рис. 7).

Рис. 7. Доказательство теоремы

Аналогично доказывается признак равнобедренного треугольника.

Признак равнобедренного треугольника

Если мы имеем треугольник и два равных угла, то противолежащие стороны тоже равны. Против равных углов лежат равные стороны (см. рис. 8).

Рис. 8. Признак равнобедренного треугольника

Теорема 2

В равнобедренном треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, лежащей против основания.

Пусть , равнобедренный треугольник (см. рис. 9).

Дано: – биссектриса, .

Доказать: , .

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 2

Доказательство: по условию , отрезок – общий для треугольников , .

, значит, по первому признаку равенства треугольников . Из этого равенства вытекает равенство , т.е. точка – середина, а значит, биссектриса является одновременно и медианой. Из равенства треугольников вытекает равенство углов.