Таким образом, получаем, что

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω

Замечания к выполнению расчетно - графической работы по теории вероятностей(2 курс)

Замечание 1:

Если случайная величина (с.в.) имеет равномерное распределение на отрезке , то с.в. имеет равномерное распределение на отрезке .

Замечание 2:

С.в. , где символ обозначает, что с.в. имеет стандартное нормальное распределение, может быть удовлетворительно представлена случайной величиной , где - независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.). Причем с.в. имеет равномерное распределение на отрезке . Для хорошей аппроксимации рекомендуется брать .

Замечание 3:

Пусть - н.о.р.с.в. и .

Тогда с.в. имеет (хи - квадрат) - распределение с n степенями свободы.

Замечание 4:

Пусть - н.о.р.с.в. и .

Тогда с.в. имеет t распределение Стьюдента с N степенями свободы.

Замечание 5:

Пусть - н.о.р.с.в. и .

Тогда с.в. имеет F распределение Фишера с n и m степенями свободы.

Замечание 6:



    Пусть - есть строго непрерывная и возрастающая функция распределения с.в. .

Тогда с.в. имеет равномерное распределение на отрезке . Отсюда следует, что если с.в. имеет равномерное распределение на отрезке , а функция есть функция распределения показательного закона с параметром , то с.в. имеет показательное распределение с параметром . Здесь - есть обратная функция для .

Замечание 7:

        Пусть - н.о.р.с.в. и имеет показательное распределение с параметром . Плотность такого распределения имеет вид:

        Тогда с.в. - имеет гамма распределениес параметрами . В дальнейшем для обозначения гамма распределения будем использовать символ .

Плотность гамма распределения имеет вид:

,

где - гамма функция Эйлера.

Гамма функция обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. , где n – натуральное.

Показательное распределение является частным случаем гамма распределения с параметрами !!!

Замечание 7:

    Пусть n – натуральное число, с.в. , т.е. имеет гамма распределение с параметрам и . Тогда с.в. имеет (хи - квадрат) - распределение с n степенями свободы.

Т.о. - распределение также является частным случаем гамма распределения!!!

Замечание 8:

Пусть мы рассматриваем некоторую с.в. . Будем k раз ее измерять (в одинаковых условиях, независимо друг от друга).

Рассмотрим последовательность н.о.р.с.в. , таких, что

z – некоторое фиксированное число.

Обозначим через - число измерений с.в. меньших z.

Тогда с.в. (в некотором смысле сходится к функции распределения).

    Тогда если - наблюдаемые значения с.в. , то в качестве оценки значения функции в точке z можно использовать наблюдаемые значения , вычисленные по наблюдениям .

Замечание 9*:

Пусть с.в. имеет абсолютно непрерывное распределение. Квантилью порядка p с.в. называется число

.

Замечание 10:

    Пусть необходимо вычислить значение . Введем в рассмотрение с.в. , имеющую равномерное распределение на и с.в. .

Вычислим математическое ожидание :

.

Таким образом, получаем, что

, где - есть математическое ожидание с.в. .

Пусть - полученные (“наблюденные”) значения с.в. (наблюдения произведены в неизменных условиях, независимо друг от друга), тогда величины можно рассматривать как значения с.в. .

Отсюда следует, что . Величина является “хорошей” (некотором смысле) оценкой (аппроксимацией) .

Замечание 11:

Пусть необходимо найти площадь некоторой области D.

12 Следующая ⇒