Что такое нелинейная динамика? Какие системы изучаются этой наукой?

Билет№1

1. Что такое нелинейная динамика? Какие системы изучаются этой наукой?

Нелинейная динамика – это наука, изучающая структуру и свойства эволюционных процессов в нелинейных динамических системах.

Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные математические модели, чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

2. Приведите пример проявления фрактальности в нелинейных системах. Есть ли что-то общее между фрактальностью и иерархичностью? В чем разница?

Для нелинейных систем существуют такие параметры, при которых возможны «пороговые» явления: ветвление, скачки, катастрофы и т.п. До достижения критических параметров траектории динамической системы могут притягиваться некоторым аттрактором (предельной точкой траектории). Но по достижении критического параметра картина резко меняется, и динамическая система начинает вести себя по-другому. Еѐ траектории могут стремиться к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь («странные аттракторы»). Однако, если параметры системы будут увеличиваться, эта последовательность начинает вести себя беспорядочно («срывается к хаосу»). Она, хоть и определена динамическим законом и начальным значением, но, тем не менее, непредсказуема. Так, например, ведут себя траектории движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой (задача трѐх тел в небесной механике). Так ведёт себя и странный аттрактор, открытый американским метеорологом Э. Лоренцем. Им была исследована система трѐх дифференциальных уравнений, описывающих конвекцию газа или жидкости, движущихся внутри тора и подогреваемых снизу этого тора.

Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:

12 3 Следующая ⇒